offene und abgeschlossene Teilmengen

13.01.2006, 14:13

Großes Fragezeichen

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offene und abgeschlossene Teilmengen

Hey,

ich hab hier eine Aufgabe, die ich schon teilweise versucht habe zu lösen, mir aber nicht sicher bin, obs so stimmt.

$\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ sei Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,...,6 \end{eqnarray*}$ . Man hat nun folgende Mengen:

$\begin{eqnarray*} M_1:= [1,3] \times \{ 2\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2:= \{z \in \mathbb C: 1<|z| \leq2\} \end{eqnarray*}$ (hier: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ aufgefasst als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} M_3:= \{P_1,P_2,....,P_n\} \end{eqnarray*}$ (endliche Menge von Punkten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} M_4:= \mathbb Z \times \{1\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_5:= \{\frac{1}{n}: n\in \mathbb N: n>0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_6:= (1,3) \times \{ 2\} \end{eqnarray*}$

Man muss
a) sagen, ob die Mengen abgeschlossen, offen oder beschränkt sind. Begründungen sind nicht erforderlich.

b) für M1, M3 und M6 intMk, clMk (=Abschließung einer Menge) und die Menge aller Randpunkte von M angeben.

Ich bin nun soweit:

$\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen

$\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ beschränkt

$\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen

$\begin{eqnarray*} M_4 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen

$\begin{eqnarray*} M_5 \end{eqnarray*}$ beschränkt

$\begin{eqnarray*} M_6 \end{eqnarray*}$ beschränkt

Sicher bin ich mir da nicht, weil mit diesem Thema noch nicht so recht umgehen kann. Und bei b) weiss ich auch nicht wirklich, wie ich vorgehen soll.
Würd mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte Hilfe

Hilfe

13.01.2006, 17:50

phi

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Hallo,

zu a) Bis auf M4 soweit ok, nur bei den abgeschlossenen Mengen fehlt noch ob sie beschränkt sind, und bei den beschränkten fehlt noch ob sie offen oder abgeschlossen sind.
zu M4: Was gilt für unendliche Mengen wie Z ?

zu b) Wie habt ihr Inneres, Abschluß und Rand definiert?

mfg, phi

13.01.2006, 19:19

Großes Fragezeichen

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Ach so, die unendlichen Mengen sind ja sowohl offen, als auch abgeschlossen..Dann ist M4 beides.

Und zu den anderen Mengen...ich hatte mir gedacht, dass die Mengen, die beschränkt sind, weder offen, noch abgeschlossen sind. Wenn man z.B. M5 nimmt, dann ist das ja sozusagen ein halboffenes Intervall und dieses ist ja weder offen, noch abgeschl.
So habe ich es mir gedacht, oder ist das so nicht richtig?

Und zu den Definitionen:

Inneres:
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ heißt "innerer Punkt von M" <=> $\begin{eqnarray*} \exists B(x,r): B(x,r) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von M
Bezeichnung: $\begin{eqnarray*} intM \end{eqnarray*}$

Rand:
$\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ heißt Randpunk von M <=> $\begin{eqnarray*} \forall U(x): \exists x_1 \in M \end{eqnarray*}$ geschnitten mit $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists x_2 \in CM \end{eqnarray*}$ geschnitten mit $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$

Abschluß
$\begin{eqnarray*} clM \end{eqnarray*}$ := Abschließung einer Menge := $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ vereinigt mit der Menge aller Randpunkte

Das waren unsere Definitionen. Ich verstehe sie auch inhaltlich, aber sie auf die Aufgabe anzuwenden fällt mir ein wenig schwer....

13.01.2006, 19:51

AD

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
Ach so, die unendlichen Mengen sind ja sowohl offen, als auch abgeschlossen..Dann ist M4 beides.

Nein, die Antwort ist falsch, und die Begründung damit auch.

Überhaupt solltest du dich nicht mit einer Eigenschaft pro Menge "zufriedengeben", sondern alle Mengen auf alle Eigenschaften abklopfen, und jeweils Begründungen für oder gegen Zutreffen dieser Eigenschaften versuchen zu finden (auch wenn sie nicht aufgeschrieben werden müssen!). Da fehlt nämlich noch einiges, wie phi bereits angesprochen hat.

13.01.2006, 20:20

phi

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Bei meinem Hinweis zu M4 hatte ich IR in Erinnerung, welches tatsächlich sowohl offen als auch abgeschl. ist. Z ist offen.

Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge bezeichnet.

Welche Punkte liegen in M1 aber nicht in M6, was ist also der Unterschied zwischen (1,3) und [1,3] ?

13.01.2006, 21:07

Großes Fragezeichen

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Zu a) hab ich nun folgende Lösungen:

M1 abgeschlossen und beschränkt

M2 beschränkt, nicht offen und nicht abgeschlossen

M3 abgeschlossen, beschränkt

M4 offen

M5 beschränkt, werder offen, noch abgeschlossen

M6 beschränkt, werder offen, noch abgeschlossen

Oder ist das fehlerhaft?

Zu b)
Ich würde sagen, dass (1,3) keine Randpunkte hat, da ja die Definition nicht erfüllt ist, weil 2 und 3 nicht zu der Menge gehören. Anders ist es dann bei [1,3]. Da würd ich sagen, dass 1 und 3 die Randpunkte sind. Nur was macht man mit dem x{2}?

Und bei M2 hab ich mir gedacht, dass die Randpunkte -2 und 2 sind.

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13.01.2006, 21:07

AD

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Zitat:

Original von phi
Z ist offen.

Da bist du im Irrtum: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber nicht offen.

13.01.2006, 23:12

phi

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@Arthur:Stimmt in IR (hab die Voraussetzungen übersehen) ist Z geschlossen, da´s ja eine Vereinigung von lauter abgeschlossenen Punkten ist. Aber in Z selbst ist es doch offen, da man zu jedem n eine Umgebung (n-1,n+1) gibt?

@GF: Habt ihr halboffene Mengen als " nicht offen und nicht abgeschlossen" so definiert? Ich kenne nur "sowohl-als-auch"-Definition.

zu M4: Arthur hat recht, da´s ja um IR^2 geht.

zu M6: wie du in b) festgestellt hast gehören 1x2 und 3x2 nicht zur Menge, also : offen.

Ansonsten ist a) ok

zu b) (1,3) hat keine Randpunkte, dafür aber ein Inneres.

das x{2} ist die y-Koordinate, also ist (1,3) x{2} ein Intervall auf der "Höhe" 2

zu M2: Und was ist mit |2i| z.B.? ( Denke mal an Polarform von z)

mfg, phi.

13.01.2006, 23:45

Großes Fragezeichen

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Ja, wir hatten gesagt, dass das halboffene Intervall weder offen, noch abgeschlossen ist.

Zu M6 hab ich noch eine Frage. Wir hatte ein ähnliches Beispiel und zwar:

$\begin{eqnarray*} M = \{4\} \times (2,5) \end{eqnarray*}$ und hier haben wir gesagt, dass es weder das eine noch das andere ist.

Nun sagst du aber, dass es offen ist. Ich hätte eigentlich im Tutorium auch gesagt, dass es offen ist, aber wir haben das nun mal so festgelegt. Und jetzt weiss ich nicht was stimmt.... verwirrt

verwirrt

14.01.2006, 01:33

Abakus

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Eine offene Menge ist Umgebung jedes ihrer Punkte. Das ist bei $\begin{eqnarray*} M_6 \end{eqnarray*}$ nicht der Fall: jeder offene Kreis um einen Punkt von $\begin{eqnarray*} M_6 \end{eqnarray*}$ enthält Punkte, die nicht zu $\begin{eqnarray*} M_6 \end{eqnarray*}$ gehören. Also kann $\begin{eqnarray*} M_6 \end{eqnarray*}$ nicht offen sein.

Grüße Abakus smile

smile

14.01.2006, 12:27

Leopold

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@ alle

Man sollte diesen Chaos-Strang noch einmal neu beginnen. Das ist hier so eine Ansammlung von Richtigem, Halbrichtigem, Halbfalschem, Falschem und Grottenfalschem, daß es einem nur noch so graut. Und ich glaube nicht, daß Großes Fragezeichen jetzt genauer weiß, was offen, abgeschlossen und beschränkt eigentlich bedeutet.

Und wenn man selber nicht so richtig weiß, was das alles besagt, sollte man auch nicht antworten, sondern sich erst noch einmal selber der ganzen Sache vergewissern.

14.01.2006, 14:36

Ace Piet

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(@Leopold) > Chaos-Strang noch einmal neu beginnen.
O.K. - 2 Versuche...

(n; n+1) ist offen(es Intervall)
V:= eine beliebige (n aus Z) Vereinigung davon ist offen
damit Z = R \ V abgeschlossen
M4 = Z x {1} ist abgeschlossen

{0} ist Berührpunkt von M5 (jede Umgebung von 0 trifft M5) und abgeschlossene Mengen enthalten jeden ihrer Berührpunkte, jedoch ist 0 nicht aus M5. Daher kann M5 nicht abgeschlossen sein. - M5 enthält keine inneren Punkte (geeignet kleine Umgebungen um {1/n} müssten R-offene Mengen enthalten, die wiederum 1-punktig sind -> geht nicht). Damit ist das Innere von M5 leer. Hätte aber = M5 sein müssen für den Fall, dass M5 offen ist. Konsequenz: M5 ist auch nicht offen.

Hoffentlich geht das durch *bibber*

cu -Ace-

14.01.2006, 14:59

phi

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Ich geb mir am besten selber Forum Kloppe

Forum Kloppe

Abaskus hat recht, im IR^2 ist M6 nach oben und unten (als in y-Richtung verstanden) abgeschlossen.

Leopold auch, es ist verwirrend immer wieder zwischen Anfang & Ende des Threads hin & her zu scrollen um die neuen Lösungen von Mk zu überprüfen.

Vorschlag: Erstmal alles was es zu M1 zu sagen gibt behandeln, und dann erst zu M2 ...usw.

Und wenn ich mir unsicher bin halt ich mich zurück.

mfg, phi.

14.01.2006, 15:20

Großes Fragezeichen

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Hallo erstmal.

Ja, ich bin ein wenig durcheinander, aber das lässt sich sicherlich klären Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe da mehrere Fragen.
1. Abakus hat jetzt erklärt, warum M6 nicht offen ist. Das versteh ich auch, aber M6 ist ja auch nicht abgeschlossen, und das versteh ich leider noch nicht so richtig.

2. @ Ace Piet
So ähnlich hab ich mir das gedacht, also was jetzt die Berührpunkte angeht. Da M5 ja so eine Art halboffenes Intervall (0,1] ist. Deshalb find ich auch, dass M2 ebenfalls weder offen, noch abgeschlossen ist, weil hier ebenfalls zwei halboffene Intervalle vorliegen. (hoffe das das jetzt richtig ist). Aber deine Erklärung dazu, dass M5 keine Inneren Punkte enthält versteh ich leider nicht.
Ich würd das so erklären (vielleicht geht das ja auch): Innerer Punkt bedeutet ja, dass man beliebig kleine Kreise um ein Element aus M5 legen kann und diese müssten wiederum Teilmenge von M5 sein, dies ist hier jedoch nicht der Fall.

Um phi's Vorschlag zu folgen:

M1 ist abgeschlossen und beschränkt und

M2 ist werde offen, noch abgeschlossen, aber beschränkt.

stimmts das erstmal soweit?

14.01.2006, 16:32

phi

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Es gilt: Keine Panik Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bleiben wir erstmal bei M1 und am besten immer die Menge dazuschreiben, damit man nicht immer hochscrollen muß.

$\begin{eqnarray*} M_1:= [1,3] \times \{ 2\} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, klar und abgeschl. da nicht alle Elemente der Menge von Elementen der Menge umgeben sind, oder anders ausgedrückt, da das Komplement IR^2\M1 offen ist.

Hat M1 ein Inneres? und was sind die Randpunkte?

(Ich glaub wenn wir ein Beispiel gründlich in Ruhe durchgehen, werden die anderen von selbst klar (und ich lern auch was dabei))

14.01.2006, 16:41

Großes Fragezeichen

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Ja, das ist sehr gut smile

smile

Also gehen wir jetzt erstmal M1 gründlich durch :-)

Die Randpunkte sind (1,2) und (3,2) würd ich sagen. Und ein Inneres hat die Menge auch, nur wie schreibt man das auf?

14.01.2006, 16:59

phi

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Bedenke, wir sind im R^2, also einer Fläche...

Welche Nachbarpunkte hat z.B. (2,2) ?

Inneres:
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ heißt "innerer Punkt von M" <=> $\begin{eqnarray*} \exists B(x,r): B(x,r) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von M
Bezeichnung: $\begin{eqnarray*} intM \end{eqnarray*}$

Was ist ein zweidimensionales B(x,r) ?

14.01.2006, 17:52

Großes Fragezeichen

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Ach so, dann gibts also keine inneren Punke, weil man ja keien Krei B(x,r) so legen kann, dass er teilmenge von M1 ist.

Und zu den Randpunkten:
Das war wohl falsch was ich gesagt habe, weil ich irgendwie an R^1 gedacht hab... :-)
Aber dann müssen doch alle Punkte der Menge Randpunkte sein, weil es dann ja jeweils einen Punkt gibt der in dem Schnitt von M und U(x) liegt und einen der im Schnitt von Komplement und M liegt.
Und das ist ja die Def. :

Rand:
$\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ heißt Randpunk von M <=> $\begin{eqnarray*} \forall U(x): \exists x_1 \in M \cap U(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists x_2 \in CM \cap U(x) \end{eqnarray*}$

14.01.2006, 20:13

phi

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Ja, genau! smile

smile

Der Abschluss müsste ja dann auch klar sein.

Edit: Was für eine geometrische Figur wird durch M2 beschrieben?

14.01.2006, 22:05

Großes Fragezeichen

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Dann ist die Abschließung clM = M.

M2 ist ein Kreis mit dem Radius 2 mit dem Mittelpunkt 0, wobei man sozusagen eine Kreisscheibe von Radius 1 und Mittelpunkt 0 auschneide ... hoffe du verstehst, was ich meine Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie beschreibt man dann die Menge der Randpunkte? Da gibt es doch so eine Formel für den Rand eines Kreises...hmm...

14.01.2006, 22:11

Großes Fragezeichen

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Ach ja, der Umfang eines Kreises ist ja $\begin{eqnarray*} 2 \pi r \end{eqnarray*}$ , kann man dann die Menge von M2 nicht folgendermaßen beschreiben: $\begin{eqnarray*} 4 i\pi \end{eqnarray*}$

14.01.2006, 23:43

Mathespezialschüler

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Verschoben

15.01.2006, 03:59

Ace Piet

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M1 = [1;3] x 2 ist sicherlich nicht offen im R^2, da etwa P(1;2) kein innerer Punkt ist (kein B(P,r) liegt ganz in M1).

M1 ist abgeschlossen wg. M2 = [1;3] x [2;2] = kart.Produkt abgeschlossener Intervalle. - Anders: Jede Umgebung eines beliebigen Punktes von M2 enthält Punkte von M2 UND von ausserhalb, dh., jeder Punkt von M2 ist ein Randpunkt von M2. Kurz: M2 = Rand(M2) und wg M2 + Rand = M2 = Closure(M2) ist M2 abgeschlossen. - Nochmal anders: [1-1/n; 3+1/n] x [2-1/n; 2+1/n] ist ein abgeschlossenes R^2-Intervall. Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Intervalle / Mengen sind abgeschlossen UND dieser beliebige Schnitt ist = M1.

Ansätze zu M2... Anschaulich ist es ein Kreis um 0 mit Radius 2, wobei der Rand hinzugehört UND einem Loch (= Kreis um 0 mit Radius 1), dessen "Lochrand" nicht zu M2 gehört. - Ich würde den Begriff "Intervall" hier nicht ins Spiel bringen (siehe M1)...

Ein Randpunkt, insbesondere Punkt von M2 ist z = 2. - Verifiziere, dass z=2 wirklich ein Randpunkt gem. Deiner Definition ist (jedes B(2,r) enthält Punkte aus M2, aber auch welche von ausserhalb). z=2 ist also kein innerer Punkt von M2. Allerdings müsste M2 = int (M2) gelten, dh., jedes z aus M2 müsste innerer Punkt sein, falls M2 offen wäre. Iss aba nich (z = 2)... => M2 ist nicht offen.

Analog zerstört man das Gerücht, dass M2 abgeschlossen ist. - z = 1 ist ein Randpunkt von M2 (!), der nicht in M2 enthalten ist. Abgeschlossene Mengen enthalten aber ihren Rand. Konsequenz: M2 ist nicht abgeschlossen.

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