Matrix bzgl. gegebener Basis

13.01.2006, 15:27	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix bzgl. gegebener Basis Hallo Ich bräucht mal wieder eure Hilfe. Vielen Dank schon mal im Voraus: $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraum, welcher ein Skalarprodukt besitzt, so dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine orthonormierte Basis ist. Für welche $\begin{eqnarray} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-x\\tx+y\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine selbstadjungierte Abbildung? Also muss doch die Matrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bezüglich der gegebenen orthonormalen Basis symmetrisch sein, oder? Aber wie finde ich diese Matrix?
13.01.2006, 20:34	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix bzgl. gegebener Basis Hi, Als erstes den Vektoren mal Namen geben: $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es muss gelten: $\begin{eqnarray} \langle f(v),w \rangle = \langle v,f(w) \rangle \end{eqnarray}$ Und da du praktischerweise schon eine Funktion vorgeben hast, kannst du daraus t herausfinden... mfg, phi. Edit: Latex verbessert
22.01.2006, 18:15	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix bzgl. gegebener Basis Hallo Phi Danke für deine Hilfe (und sorry, dass ich erst jetzt antworte). Ich weiss nicht, wie ich diese Aufgabe über das Skalarprodukt lösen soll, da dieses ja nicht vorgegeben ist. Wenn ich wüsste, wie man die Matrix zur Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ findet, so wäre es ein leichtes, die Aufgabe zu lösen, da diese Matrix ja symmetrisch sein muss, oder?
22.01.2006, 18:41	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, moin, Beispiel einer Darstellungsmatrix einer Funktion: Trick: Die Funktion als Spaltenvektor schreiben: $\begin{eqnarray} f(x,y)=(px+qy, rx +sy)^T = \begin{pmatrix} px + qy \\rx+sy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Das musst du in deinem Script und Buch irgendwo haben) Jetzt wird´s einfach oder? mfg, phi. Edit: Ich seh grade dass das SKP nicht das Standard-SKP sein soll ? (Ändert aber nix an der Darstellungsmatrix, nur am ausrechnen) Edit 2: Übrigens sind die von dir angegebenen Vektoren nicht normiert!

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