Dimension von Vektorräumen

15.05.2008, 12:18

blub85

Dimension von Vektorräumen

Servus!

Ich habe eine Verständnisfrage zum Begriff der Dimension von Vektorräumen:

Ich habe in einem Buch ein Beispiel gefunden, in dem die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{x_1, x_2, x_3, x_4\} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ gegeben sind.

Der Autor zeigt, dass einer dieser Vektor sich durch andere darstellen lässt (lineare Abhängigkeit), die andern drei aber linear unabhängig sind. Also besteht die Basis dieses Vektorraumes aus drei Vektoren => Dimension 3.

Ich beiße mich aber an folgendem:
Die Vektoren sind ja $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , also hätte ich inuitiv gesagt, dass die Dimension der 4 Vektoren auch vier-dimensional ist..

Wisst irh wie ich das meine?!

Danke!

15.05.2008, 12:26

klarsoweit

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RE: Dimension von Vektorräumen

Zitat:

Original von blub85
Die Vektoren sind ja $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , also hätte ich inuitiv gesagt, dass die Dimension der 4 Vektoren auch vier-dimensional ist..

Hier zeigt sich entweder eine sprachliche Schwäche oder ein Mißverständnis. Vektoren haben im eigentlichen Sinne keine Dimension, sondern nur der von einer Familie von Vektoren aufgespannte Vektorraum. Die Dimension des Vektorraums ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die noch den Vektorraum aufspannen.

15.05.2008, 12:36

blub85

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Zitat:

ektoren haben im eigentlichen Sinne keine Dimension, sondern nur der von einer Familie von Vektoren aufgespannte Vektorraum

Mh, okay... Ich verstehe das schon einigermaßen, nur beißt es sich mit meiner "schulischen Vorstellung von Dimesionen".

Ich dachte immer: Vektoren die einen 3-dimensionalen Vektorraum aufspannen sehen so $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus und vektoren, die einen vier-dimensionalen raum ausspannend so $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind aber im Beispiel Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die aber einen 3-dimensionalen Vektorraum aufspannen.

Wenn ich mri das bildlich vorstelle: die ersten 3 Komponenten dieser Vektoren kann ich entlang der x,y und z Achse zeichnen... aber für die 4te Komponente ist in einem 3-dimensionalen Raum ja gar keine "Achse" mehr da..

Danke, dass Du Dir mühe gibst mir zu helfen, ist wirklich ein Verständnisproblem, wie ich befürchte.

15.05.2008, 12:49

blub85

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ahhh, was so eine Zigarettenpause alles bezwecken kann:

ich habs verstanden! smile

Hab mir das mal in R^3 vorgestellt. 3 Vektoren aus R^3 (bzw. mit drei Komponenten) bei denen einer linear abhängig zu den anderen ist, liegt somit auf der Ebene, die die andern beiden aufspannen. Also ist die Dimension dieses Raumes 2 (= Ebene).

Danke trotzdem!! Wink

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