durchschnitt offener mengen

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Sheli Auf diesen Beitrag antworten »
durchschnitt offener mengen
Hallo.

Ich will beweisen dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen offen ist.
Ich hab mir folgendes gedacht

sei durchscnitt von , offen

=>

Das ist das einzige was ich aus dem Durchschnitt folgern kann. Ich hab mir noch überlegt dass es eigentlich eine Kugel geben muss die Teilmenge aus allen ist. Und dass dann damit irgendwie beweisen. Aber weiter komme ich nicht. Ein Tipp würde mich vielleicht weiterbringen.

Im Formeleditor gibt es kein Zeichen für Durchschnitt, deshalb musste ich das ausschreiben.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: durchschnitt offener mengen
Zitat:
Original von Sheli
sei durchscnitt von

ist x da wirklich im schnitt von einer menge?

geschnitten: "\cap" ()


zur sache: zeige das ganze mit zwei offenen mengen, rest folgt dann induktiv
du musst zeigen, dass zu jedem x im schnitt, eine epsilonkugel ganz im..... das kennst du ja
bedenke, dass x in beiden offenen mengen liegt, also in beiden mengen eine epsilonumgebung um x.....

nimm nun die kleinere epsilonumgebung und dann...... jaja
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so meinst du ist dass jetzt im Durchschnitt?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Ach so meinst du ist dass jetzt im Durchschnitt?

bitte was?
aaaah, I ist eine Indexmenge?

naja, mit deinem letzten Post kann ich trotzdem nichts anfangen.



Zitat:
Ich hab mir noch überlegt dass es eigentlich eine Kugel geben muss die Teilmenge aus allen ist. Und dass dann damit irgendwie beweisen.

Das ist doch ganz gut.
x ist in jeder der offenen Mengen, also existiert für jede Menge ein Epsilon mit....
und was passiert jetzt, wenn du das kleinste dieser Epsilons betrachtes?
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das kleinste Epsilon betrachte, dann ist die Kugel Teilmenge des Durchschnitts der Mengen M. Bin mir aber nicht sicher.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum?

Bedenke, dass diese kleinste Kugel Teilmenge von allen anderen Kugeln ist (klar?).
Da in jeder Menge eine der Kugeln liegt und deine kleinere je in der größeren, muss also......
Rest musst du jetzt eben noch mathematisch formulieren, aber ich hoffe, die Anschauung ist klar. Und damit ist auch der Beweis dann einfach.......

mfg Jochen
 
 
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Danke! Wink
ich denke ich habs verstanden. setze mich morgen an den beweis, mal schaun was bei rauskommt Augenzwinkern
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Ich galube das mathematisch zu formulieren ist doch nicht so einfach wie ich es mir gedacht habe.
Wenn ich das mit zwei Mengen und mache dann, muss ich zeigen dass Teilmenge von ist. Nur wie mach ich da jezt weiter??
Kann ich das mit Hilfe von Epsilon-Umgebungen machen? Wir hatte das mal bewiesen, dass der Durchschnitt endlich vieler Eplison-Umgebungen von x auch eine Umgebung von x ist. Hilft mir vielleicht das weiter?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Wir hatte das mal bewiesen, dass der Durchschnitt endlich vieler Eplison-Umgebungen von x auch eine Umgebung von x ist.

das ist genau dass, was du hier brauchst!

ja, das ganze für 2 mengen und danach induktiv für endlich viele zu beweisen, hatte ich ja oben schon vorgeschlagen.

sei also x im schnitt von M1 mit M2, also x in M1, x in M2
nun gibt es epsilon 1, sodass B(x, epsilon 1) komplett in M1 liegt, und es gibt epsilon 2, sodass......

sei nun epsilon=minimum(epsilon 1, epsilon 2) [wenn du dir arbeit sparen willst kannst du auch OE epsilon 1 <epsilon 2 sagen]

zeige dann, dass B(x, epsilon) sowohl komplett in M1, als auch in M liegt
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man. Die Aufgabe wird immer verwirrender. Je mehr man das versucht desto venige steigt man da durch, so scheint es mir.

Bin gerade mal soweit
Sei , dann Teilmenge von
Sei , dann Teilmenge von .
Und jetzt kann ich doch die Definition anwenden, das der Schnitt der Umgebungen wieder ein Schnitt ist?
Wenn man wählt, müsste dann nicht Teilmenge von sein und damit im Schnitt der beiden Mengen liegen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Oh man. Die Aufgabe wird immer verwirrender. Je mehr man das versucht desto venige steigt man da durch, so scheint es mir.

versuch dich immer an der anschaulichen klarheit von oben zu halten, dann verrennst du dich weniger

Zitat:
Bin gerade mal soweit
Sei , dann Teilmenge von
Sei , dann Teilmenge von .

das ist fakt für jedes x, das im schnitt liegt (ist der schnitt leer, ist die aussage natürlich trivial)

Zitat:
Und jetzt kann ich doch die Definition anwenden, das der Schnitt der Umgebungen wieder ein Schnitt ist?

das ist aber keine defintition, dass habt ihr wohl schon bewiesen, das ist ein satz (oder ein lemma, eine proposition, was auch immer)
und es liefert keinen schnitt, sondern eine umgebung Augenzwinkern
Zitat:
Wenn man wählt, müsste dann nicht Teilmenge von sein und damit im Schnitt der beiden Mengen liegen?

das ist genau das, was ihr vermutlich in eurem beweis benutzt habt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

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