Folgen

15.05.2008, 14:37

jonny20002

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Folgen

hallo zusammen.

Ich hab hier ne relativ leichte aufgabe glaub ich, aber ich komm nich drauf smile

smile

.
könnt ihr mir helfen?
also ich habe eine folge a_n = a_(n-1) + 1/n. Die kann man ja umschreiben damit sie nicht mehr rekursiv ist: n-1+1/n. soweit bin i schon Big Laugh

Big Laugh

aber jetzt soll ich zeigen das für diese folge gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall (\alpha >0)\exists (n' \in \mathbb N+)\forall (n'\leq n \in \mathbb N+)\mid a_n - a_(n+1)\mid \leq \alpha \end{eqnarray*}$

da hab ich keine plan. bitte helft mir

15.05.2008, 14:39

Dual Space

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RE: Folgen
Du sollst also zeigen, dass die gegebene Folge eine Cauchyfolge ist. Wo genau liegt jetzt das Problem?

15.05.2008, 14:43

tmo

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RE: Folgen

Zitat:

Original von Dual Space
Du sollst also zeigen, dass die gegebene Folge eine Cauchyfolge ist.

Das bezweifel ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2008, 14:44

Dual Space

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RE: Folgen
Aha ... und warum zweifelst du?

15.05.2008, 14:46

jonny20002

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Ach ja. das war der anstoss den ich gebraucht hab. und der beweis das eine folge eine cauchyfolge is ist immer gleich oder? vieln dank

15.05.2008, 14:50

Dual Space

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RE: Folgen

Zitat:

Original von tmo
Das bezweifel ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wenn du bezweifelst, dass die vorgelegte Folge eine Cauchyfolge ist, dann hast du natürlich Recht ... dafür kennt man die harmonische Reihe zu gut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe lediglich die Aufgabenstellung umformuliert.

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15.05.2008, 14:52

tmo

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RE: Folgen
1. weil es in der Aufgabenstellung nicht drinsteht:

Zitat:

Original von jonny20002
$\begin{eqnarray*} \forall (\alpha >0)\exists (n' \in \mathbb N+)\forall (n'\leq n \in \mathbb N+)\mid a_n - a_(n+1)\mid \leq \alpha \end{eqnarray*}$

Man zeigt damit ja nur, dass die Differenz direkt aufeinander folgender Folgenglieder beliebig klein wird. Das ist aber doch noch nicht hinreichend für eine Cauchy-Folge.

und 2. weil es auch keine Cauchyfolge ist. Es ist für m > n: $\begin{eqnarray*} a_m-a_n = \sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Bekanntlich divergiert die harmonische Reihe.

15.05.2008, 14:52

Dual Space

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RE: Folgen
Recht hast du. Wieder mal nicht richtig hingeguckt. Forum Kloppe

Forum Kloppe

15.05.2008, 14:54

jonny20002

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Gott

Gott

Gott

Gott

15.05.2008, 15:02

jonny20002

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Und wenn ihr mir jetzt noch sagen könnt wie ich die Aussage über die beiden Grenzwerte der Folgen beweisen kann dann hmm Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = b \end{eqnarray*}$ daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 15:15

tmo

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Hast du die erste Aufgabe denn nun gelöst? Wenn ja, kannst du deine Lösung noch hier posten.

Zur der weiteren Aufgabe: Wie ist denn Grenzwert einer Folge definiert?

15.05.2008, 15:15

Dual Space

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Schon merkwürdig, dass ihr die Grenzwertsätze selber beweisen sollt. Ziemlich faul euer Prof., oder? Big Laugh

Big Laugh

15.05.2008, 23:03

jonny20002

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Also die erste hab ich so "gelöst":
Wähle n' so das für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n' gilt \mid a - a_n \mid \leq \alpha/2 \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} n,n+1 \geq n' \Rightarrow d(a_n,a_(n+1))\leq d(a_n,a) + d(a,a_(n+1)\leq 2*\alpha/2 = \alpha \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

16.05.2008, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von jonny20002
Wähle n' so das für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n' gilt \mid a - a_n \mid \leq \alpha/2 \end{eqnarray*}$ .

Und was soll das a sein? verwirrt

verwirrt

Warum rechnest du nicht einfach mal $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus?

16.05.2008, 11:43

tmo

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Irgendwie scheinst du einfach nur den Beweis, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist, etwas umformuliert zu haben (und dabei a als Grenzwert definiert). Dabei sind wir doch schon vorher zu dem Schluss gekommen, dass die Folge keine Cauchy-Folge ist und auch nicht konvergiert.

17.05.2008, 11:12

jonny20002

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Ja wie gesagt ich hab ja keine ahnung :-).
Ja wenn ich a_n - a_n+1 ausrechne bekomme ich. |-1 + 1/(n²+n)|

17.05.2008, 13:10

Dual Space

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$\begin{eqnarray*} |a_n-a_{n+1}|=|a_n-(a_n+\tfrac{1}{n+1})|=\dots \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 10:36

jonny20002

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Wieso ist denn $\begin{eqnarray*} a_n+1 = a_n + 1/n+1? \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 11:06

Mathespezialschüler

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Wenn du schon keinen ordentlich Bruch schreibst, dann setze wenigstens Klammern!

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt, weil die Folge so definiert war. In deinem Anfangspost stand

$\begin{eqnarray*} a_k=a_{k-1}+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du da $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann steht es schon da.

18.05.2008, 11:54

jonny20002

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Ok. Und damit is das dann bewiesen oder wie?

18.05.2008, 11:55

Dual Space

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Nix ist bewiesen. Schreib doch mal alles sauber auf.

18.05.2008, 15:18

jonny20002

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ok. also
$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a_{n+1}\mid \leq \alpha \Rightarrow \mid \frac{- 1}{n+1} \mid \leq \alpha \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt? sage ich das es ein $\begin{eqnarray*} n_o \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_o+1} \leq \alpha \end{eqnarray*}$ . und Sei dann $\begin{eqnarray*} n \geq n_o \Rightarrow \frac{1}{n+1} \leq \alpha \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2008, 18:19

Dual Space

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Löse doch die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |1/(n+1)|<\alpha \end{eqnarray*}$

einfach nach n auf.

19.05.2008, 11:21

jonny20002

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Das ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha} - 1 \leq n \end{eqnarray*}$ . und da $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N^+ \end{eqnarray*}$ ist es bewiesen. ach ja wenn man von mathe mal keine ahnung hat traurig

traurig

. Vielen dank.

19.05.2008, 11:30

Dual Space

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Mit anderen Worte ist die Aussage also wahr für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N(\alpha)=\tfrac{1-\alpha}{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

19.05.2008, 15:59

Egon

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RE: Folgen

Zitat:

Original von tmo
1. weil es in der Aufgabenstellung nicht drinsteht:

Zitat:

Original von jonny20002
$\begin{eqnarray*} \forall (\alpha >0)\exists (n' \in \mathbb N+)\forall (n'\leq n \in \mathbb N+)\mid a_n - a_(n+1)\mid \leq \alpha \end{eqnarray*}$

Man zeigt damit ja nur, dass die Differenz direkt aufeinander folgender Folgenglieder beliebig klein wird. Das ist aber doch noch nicht hinreichend für eine Cauchy-Folge.

Verständnisfrage meinerseits: Was hier noch fehlt, um die Folge zu einer Cauchy-Folge zu machen, wäre das Kriterium, dass es ein n gibt, ab welchem alle weiteren Glieder untereinander nur noch eine beliebig kleine Differenz haben. Ist das korrekt?

Danke

19.05.2008, 16:02

Dual Space

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RE: Folgen
Ja.

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