parameter teilfläche mit wurzel

15.05.2008, 16:36

tarzibou

parameter teilfläche mit wurzel

gegebene Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-\frac{9}{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_a(x)=ax^{2}+4 \end{eqnarray*}$

Aufgabenstel
lung:

Die Funktion f wird im Intervall $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < \frac{3}{2} ( x \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ durch eine quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} p_a(x) (x\in D_p; a\in\mathbb R , a >0) \end{eqnarray*}$ ersetzt.

1. Weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray*} R (\frac{1}{\sqrt{a} } ;5) \end{eqnarray*}$ ein Schnittpunkt des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ mit der Geraden y=5 ist.

Lösung:
$\begin{eqnarray*} 5=ax^{2}+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=\pm \sqrt{\frac{1}{a} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ R ist Schnittpunkt...

2. Betrachtet wird nun die Fläche, die von $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ , der Geraden y=5 und der y-Achse im ersten Quadranten vollständig begrenzt wird. Ermitteln Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche 0,5 beträgt.

Lösung:
Stammfunktion bilden: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow P_a(x)=\frac{ax^{3} }{3} +4x \end{eqnarray*}$
Die Fläche wird begrenzt durch $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{1}{\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$ .

Die Flächenfunktion lautet demzufolge: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0,5=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a} }}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0,5=\frac{a(\frac{1}{ \sqrt{a} })^{3} }{3}+4\frac{1}{\sqrt{a} } -0 \end{eqnarray*}$

zusammengefasst ergäbe das:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0,5=\frac{a^{2}}{3}+ \frac{4}{\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

wenn ich dies nun soweit auflöse, dass die wurzel verschwindet, komme ich schlußendlich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0=a^{6} -2,25a^{2}+144a \end{eqnarray*}$

dies bringt mich allerdings keinen deut weiter, da ich hier nicht substituieren kann, also muss die lösung woanders liegen oder ich habe mich irgendwo schwerwiegend vertan. habt ihr einen tipp?

15.05.2008, 16:40

Bjoern1982

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Es geht um die Fläche zwischen 2 Graphen, nämlich um die Fläche, die der Graph von $\begin{eqnarray*} p_a(x) \end{eqnarray*}$ und die Gerade g(x)=5 einschließen.
Deshalb musst du auch dir Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)-p_a(x) \end{eqnarray*}$ integrieren.

Gruß Björn

15.05.2008, 19:38

tarzibou

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dies beseitigt aber keineswegs die wurzel...

neue integration:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a} } }~[g(x)-f(x)]~dx =\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a} } }~[-ax^{2}-1]~dx \end{eqnarray*}$

neue stammfunktion demzufolge:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P_a(x)=\frac{-ax^{3}}{3} -x \end{eqnarray*}$

einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0,5=\frac{-a\frac{1}{\sqrt{a}}^{3}}{3} -\frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

wieder das wurzelproblem unglücklich

15.05.2008, 19:49

Bjoern1982

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Mit den Vorzeichen hast du dich am Anfang schon vertan.
Ansonsten, was hast du denn gegen Wurzeln ?
Ein bisschen vereinfachen und am Ende quadrieren sollte das Problem lösen.
Vieles kürzt sich eh weg.

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{a}})^3=\frac{1}{\sqrt{a} \cdot a} \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 20:17

tarzibou

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welchem vorzeichen?

wurzeln stellen insofern ein problem dar, weil ich schlußendlich nach a auflösen muss und eine zahl benötige (aufgabenstellung).

16.05.2008, 01:46

Bjoern1982

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Da 5-4=1 muss es so lauten:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a} } }~[g(x)-f(x)]~dx =\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a} } }~[-ax^{2}+1]~dx \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} 0,5=\frac{-a\frac{1}{\sqrt{a}}^{3}}{3} -\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{a}{3 \cdot a \cdot \sqrt{a}} -\frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kürzen, Hauptnenner bilden, quadrieren....etc

16.05.2008, 14:55

tarzibou

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mensch, stimmt. danke.

$\begin{eqnarray*} 0,5 = \frac{-4}{3\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1,5 \sqrt{a} = -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2,25 a = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a = \frac{64}{9} \end{eqnarray*}$

probe:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{\frac{64}{9}} } }~[g(x)-f(x)]~dx = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{\frac{64}{9}} } }~[-ax^{2}+1]~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=0,25 \end{eqnarray*}$

wieso denn das nun wieder... hier muss doch jetzt 0,5 rauskommen...

17.05.2008, 02:21

Bjoern1982

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Das liegt daran, dass ich mit deinem falschen Vorzeichen weitergerechnet habe, es muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} 0,5=\frac{-a\frac{1}{\sqrt{a}}^{3}}{3} +\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{a}{3 \cdot a \cdot \sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle:

a=16/9

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