Aufgabe Potenzreihe

14.01.2006, 14:21

susi_star85

Aufgabe Potenzreihe

Hi!

Ich bräuchte mal Hilfe bei so einer Aufgabe:

Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius und $\begin{eqnarray*} a_0\not = 0 \end{eqnarray*}$ , dann läßt sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sum_{n=0}^\infty a_nz^n} \end{eqnarray*}$ wieder als Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty c_nz^n \end{eqnarray*}$ mit positivem Konvergenzradius schreiben. Berechnen Sie die ersten 5 Koeffizienten der durch folgenden Division gewonnenen Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-+...} \end{eqnarray*}$

Kann mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich an die Sache rangehen soll/kann?

14.01.2006, 14:31

phi

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Kommt dir nicht die Reihe im Nenner irgendwie bekannt vor? Trig....

14.01.2006, 14:36

Sunwater

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Hallo Leipziger Studentin... *g*

ich hab die gleiche Aufgabe schonmal reingestellt... - musst mal unter Inverse Potenzreihe oder so suchen... - da steht so ziemlich alles drin, was du wissen musst...

mfg Sunwater

14.01.2006, 14:42

BraiNFrosT

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Ich war mal so frei und habe den Link rausgesucht.
Und hier ist er !

14.01.2006, 14:45

susi_star85

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entschuldigung und danke für den link!

14.01.2006, 15:13

phi

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Als Alternative zum Cauchyprodukt ginge auch die Taylorreihe von 1/cos

14.01.2006, 20:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von phi
Als Alternative zum Cauchyprodukt ginge auch die Taylorreihe von 1/cos

Setzt du diese etwa als bekannt voraus? Wenn ja, wie wurde sie denn berechnet? Etwa über ein anderes Verfahren als das von mir im anderen Thread angegebene?

Gruß MSS

14.01.2006, 21:57

phi

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RE: Aufgabe Potenzreihe
Hallo,
Also $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - +... \end{eqnarray*}$ ist ja schon die Taylor-Reihe von Cos(x) (mit Restglied 0) , also kann man die Taylor-Reihe von 1/Cos(x) um den Entwicklungspunkt 0 suchen. Wenn man die ersten 10 Ableitungen macht, was wegen Entwicklungspunkt 0 auch nicht soviel Mühe macht, bekommt man exakt die gleichen Koeffizienten. (vielleicht ist 1/Cos(x) ebenso reell analytisch wie Cosinus)
f(0)=1
f'=tan(0)/cos(0)=0 (* x)
f''(0)= 1/cos^3 + tan^2/cos=1 (*(1/2) x^2)
f'''(0)=5tan/cos^3 + tan^3/cos=5 (*(1/4!)x^4
...

Es kommt natürlich drauf an, ob man Taylor schon voraussetzen darf.

mfg, phi

14.01.2006, 22:00

Mathespezialschüler

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Na dann, viel Spaß beim Ableiten. Wink