Aufgabe zu Bernoulli-Kette und Normalverteilung

14.01.2006, 14:28

SkYfiGhTeR

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Aufgabe zu Bernoulli-Kette und Normalverteilung

Hallo,

es geht um die Aufgabe im Anhang.

Aufgabe a) ging ohne Probleme mit Baumdiagramm.

Bei Aufgabe b) habe ich das hier:

$\begin{eqnarray*} P(\text {Gewinnerwartung Spieler I})=\frac{5}{9}=55,56% \end{eqnarray*}$

Und für eine Spielregel, die das Spiel "fair" macht, habe ich mir überlegt, dass man einfach z.B. die Kombination 1-1 nicht gelten lässt, also die nicht als Gewinn zählt. Bzw. das könnte man auch allgemein sagen, dass eben sobald ein "Pasch" bzw. zweimal die gleiche Zahl hintereinander gedreht wird, keiner etwas zahlen muss.

Bei Aufgabe c):

A: $\begin{eqnarray*} B(5;\frac{4}{9};1)=21,2% \end{eqnarray*}$

B: $\begin{eqnarray*} B(5;\frac{5}{9};3)+B(5;\frac{5}{9};4)+B(5;\frac{5}{9};5)=60,34% \end{eqnarray*}$

Tja und bei Aufgabe d) weiß ich irgendwie gerade nicht wirklich weiter...

Ich hatte irgendwie an so etwas gedacht: $\begin{eqnarray*} B(n;\frac{4}{9};1) \geq 99% \end{eqnarray*}$

Oder bzw. eigentlich müsste es ja $\begin{eqnarray*} 1-B(n;\frac{4}{9};0) \geq 99% \end{eqnarray*}$ heißen, nur wie bekomme ich da dann das n? In der Tabelle kann ich nicht schauen, weil es die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p=\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ nicht gibt...

Danke im Voraus!

14.01.2006, 17:06

bil

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RE: Aufgabe zu Bernoulli-Kette und Normalverteilung
hi..
also hab mir mal nur das erste blatt angeschaut.

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Bei Aufgabe b) habe ich das hier:

$\begin{eqnarray*} P(\text {Gewinnerwartung Spieler I})=\frac{5}{9}=55,56% \end{eqnarray*}$

scheint alles in ordnung zu sein..

Zitat:

Und für eine Spielregel, die das Spiel "fair" macht, habe ich mir überlegt, dass man einfach z.B. die Kombination 1-1 nicht gelten lässt, also die nicht als Gewinn zählt. Bzw. das könnte man auch allgemein sagen, dass eben sobald ein "Pasch" bzw. zweimal die gleiche Zahl hintereinander gedreht wird, keiner etwas zahlen muss.

wenn man jedes pasch allgemein sperrt, ist es dann wirklich noch fair?

Zitat:

Bei Aufgabe c):

A: $\begin{eqnarray*} B(5;\frac{4}{9};1)=21,2% \end{eqnarray*}$

B: $\begin{eqnarray*} B(5;\frac{5}{9};3)+B(5;\frac{5}{9};4)+B(5;\frac{5}{9};5)=60,34% \end{eqnarray*}$

richtig...

Zitat:

eigentlich müsste es ja $\begin{eqnarray*} 1-B(n;\frac{4}{9};0) \geq 99% \end{eqnarray*}$ heißen, nur wie bekomme ich da dann das n?

das ist der richtige ansatz. schreib das mal ausführlich hin und über leg wie du das n dort rausbekommst...
eine tabelle benötigst du da nicht...

gruss bil

14.01.2006, 17:35

SkYfiGhTeR

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Hi,

Zitat:

Original von bil
wenn man jedes pasch allgemein sperrt, ist es dann wirklich noch fair?

Nein. *g* Also es darf nur ein Pasch sein, also entweder 1-1 oder 2-2 oder 3-3, also z.B. eben.

- - - - -

Zu Aufgabe d):

$\begin{eqnarray*} 1-B(n;\frac{4}{9};0) \geq 99% \end{eqnarray*}$

Also wenn ich das weiter ausrechne, dann kommt irgendwie was Negatives für n raus, das ist doch dann nicht so vorteilhaft oder? *g*

$\begin{eqnarray*} 1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}*(\frac{4}{9})^{0}*(\frac{5}{9})^{n-0} \geq 0,99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{9}{5}*lg(0,01) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq -3,6 \end{eqnarray*}$

Und was mach ich da nun?

14.01.2006, 17:52

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Zu Aufgabe d):

$\begin{eqnarray*} 1-B(n;\frac{4}{9};0) \geq 99% \end{eqnarray*}$

Also wenn ich das weiter ausrechne, dann kommt irgendwie was Negatives für n raus, das ist doch dann nicht so vorteilhaft oder? *g*

richtig erkannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}*(\frac{4}{9})^{0}*(\frac{5}{9})^{n-0} \geq 0,99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{9}{5}*lg(0,01) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq -3,6 \end{eqnarray*}$

naja weiss jetzt nicht genau was du da gemacht hast aber auf jeden fall falsch.

zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{5}{9}\right)^n\approx 0,01 \end{eqnarray*}$

da müssen wir jetzt nur den logerithmus zur basis 5/9 drüber ziehen,d.h.

$\begin{eqnarray*} log_{\frac{5}{9}}\left(\left(\frac{5}{9}\right)^n\right)\approx log_{\frac{5}{9}}(0,01) \end{eqnarray*}$

jetzt bist du wieder dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

14.01.2006, 18:58

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm...ja also da war wohl irgendwie was falsch, stimmt. *g*

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log 0,01}{log \frac{5}{9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq 7,8 \end{eqnarray*}$

Also muss er sozusagen mindestens 8 Spiele machen, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein Spiel zu gewinnen.

- - - -

Zu Aufgabe e):

Da wäre ja $\begin{eqnarray*} n=300 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p=\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>150 \end{eqnarray*}$ .

Da müsste ich dann doch dann die Bernoulli-Kette von $\begin{eqnarray*} B(300;\frac{5}{9};151) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} B(300;\frac{5}{9};300) \end{eqnarray*}$ addieren oder? Und wie mache ich das am geschicktesten, dass es nicht so lange dauert? *gg*

Mit der kumulierten Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} 1-B(300;\frac{5}{9};150) \end{eqnarray*}$ ? Nur wie da die Bernoulli-Kette ausrechnen ohne geeignete Tabelle?

14.01.2006, 19:08

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

hm...ja also da war wohl irgendwie was falsch, stimmt. *g*

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log 0,01}{log \frac{5}{9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq 7,8 \end{eqnarray*}$

Also muss er sozusagen mindestens 8 Spiele machen, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein Spiel zu gewinnen.

richtig

Zitat:

Zu Aufgabe e):

Da wäre ja $\begin{eqnarray*} n=300 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p=\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>150 \end{eqnarray*}$ .

Da müsste ich dann doch dann die Bernoulli-Kette von $\begin{eqnarray*} B(300;\frac{5}{9};151) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} B(300;\frac{5}{9};300) \end{eqnarray*}$ addieren oder? Und wie mache ich das am geschicktesten, dass es nicht so lange dauert? *gg*

Mit der kumulierten Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} 1-B(300;\frac{5}{9};150) \end{eqnarray*}$ ? Nur wie da die Bernoulli-Kette ausrechnen ohne geeignete Tabelle?

auch alles richtig. wenn du keine tabelle und kein matheprogramm hast, dann musst du es mit der normalverteilung approximieren.
wie das geht steht hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

und für die normalverteilung brauchst du auch wieder ein tabelle und zwar folgende:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

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14.01.2006, 19:37

SkYfiGhTeR

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Hi,

achso...ist da die Wahrscheinlichkeit dann: $\begin{eqnarray*} P(150 \leq X \leq 300)=97,7% \end{eqnarray*}$ ?

14.01.2006, 20:23

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

achso...ist da die Wahrscheinlichkeit dann: $\begin{eqnarray*} P(150 \leq X \leq 300)=97,7% \end{eqnarray*}$ ?

jepp, ist richtig. der exakte wert mit der binomialverteilung ist übrigens

$\begin{eqnarray*} P(150\leq X \leq 300)=0.9766973 \end{eqnarray*}$

wie du siehst ist die annäherung durch normalverteilung recht gut...

gruss bil

14.01.2006, 20:43

SkYfiGhTeR

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Hi,

stimmt..ist wirklich nicht schlecht die Annäherung bzw. sehr sehr geringe Abweichung nur.

Bei Aufgabe f) verstehe ich das irgendwie nicht ganz..

Soll ich da nun ein Intervall von Anzahl Spielen angeben - und zwar von Gewinnspielen von Spieler I - das mit 90%iger Sicherheit zutrifft?!

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} P(152,51 \leq X \leq 180,89)=90% \end{eqnarray*}$ bzw. da es ja keine halben Spiele usw. gibt $\begin{eqnarray*} P(153\leq X \leq 180)=90% \end{eqnarray*}$ ?

14.01.2006, 20:59

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

stimmt..ist wirklich nicht schlecht die Annäherung bzw. sehr sehr geringe Abweichung nur.

Bei Aufgabe f) verstehe ich das irgendwie nicht ganz..

Soll ich da nun ein Intervall von Anzahl Spielen angeben - und zwar von Gewinnspielen von Spieler I - das mit 90%iger Sicherheit zutrifft?!

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} P(152,51 \leq X \leq 180,89)=90% \end{eqnarray*}$ bzw. da es ja keine halben Spiele usw. gibt $\begin{eqnarray*} P(153\leq X \leq 180)=90% \end{eqnarray*}$ ?

richtig verstanden und auch richtig gelöst...
sind das eigentlich deine "hausaufgaben" vom ganzen monat?

gruss bil

15.01.2006, 10:02

SkYfiGhTeR

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Hi,

prima. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von bil
sind das eigentlich deine "hausaufgaben" vom ganzen monat?

Naja...fast. Das sind sozusagen die Wochend-Hausaufgaben, die in diesem Fall von Donnerstag auf Dienstag auf sind. Sind halt aus dem letzten Kapitel "Komplexe Aufgaben" unseres Buches und daher nun etwas "ausführlicher" als die "normalen" vorherigen Aufgaben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

- - - - - -

Bei Aufgabe g) komme ich irgendwie nicht so weiter.

Also wir haben ja:
$\begin{eqnarray*} H_{0}: p=\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{1}: p<\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ und dann noch diese $\begin{eqnarray*} 10% \end{eqnarray*}$ Signifikanzniveau.

So, nun soll ein Annahmebereich für die Hypothese $\begin{eqnarray*} H_{0} \end{eqnarray*}$ auf 10% Signifikanzniveau bestimmt werden.

Tja und da weiß nicht weiter. *g*

Also diese 10% Signifikanznivea, das ist doch eigentlich der $\begin{eqnarray*} \alpha \text{-Fehler} \end{eqnarray*}$ bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art oder?

Und ich habe die Irrtumswahrscheinlichkeit sozusagen schon und muss nun die Entscheidungsregel bestimmen oder so?

Danke schon mal...

15.01.2006, 11:44

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Bei Aufgabe g) komme ich irgendwie nicht so weiter.

Also wir haben ja:
$\begin{eqnarray*} H_{0}: p=\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{1}: p<\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ und dann noch diese $\begin{eqnarray*} 10% \end{eqnarray*}$ Signifikanzniveau.

So, nun soll ein Annahmebereich für die Hypothese $\begin{eqnarray*} H_{0} \end{eqnarray*}$ auf 10% Signifikanzniveau bestimmt werden.

Tja und da weiß nicht weiter. *g*

Also diese 10% Signifikanznivea, das ist doch eigentlich der $\begin{eqnarray*} \alpha \text{-Fehler} \end{eqnarray*}$ bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art oder?

Und ich habe die Irrtumswahrscheinlichkeit sozusagen schon und muss nun die Entscheidungsregel bestimmen oder so?

ist ansich alles richtig.
du hast es eigentlich schon ganz gut drauf... es scheitert immer nur an kleinigkeiten.
gesucht ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)\geq 0.90\leq \sum_{i=k}^{100}Bin(n,p,i) \end{eqnarray*}$

du musst also hier das k bestimmen. sobald du das k hast, hast du ein intervall [k , 300] bei dem die aussage abgelehnt wird(falls die siege von spieler 1 nicht zwischen k und 300 liegen) mit fehler wahrscheinlichkeit 10%. wenn du keine tabelle hast musst du dir überlegen wie du das k per normalverteilung bekommen kannst.

gruss bil

15.01.2006, 13:10

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm..aha. Liegt dann das k so ca. bei 53-56 ?
Habe ich per Tabelle geschaut, nur das ist leider nur p=0,50 und p=0,60 drin und daher gibts zwei verschiedene Werte...vll. dann die Mitte so 54 oder 55 bei p=5/9. *g*
Aber ich glaube das ist irgendwie falsch...

Und über die Normalverteilung hab ich auch mal was probiert und auf k=87 gekommen...?

15.01.2006, 13:26

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

hm..aha. Liegt dann das k so ca. bei 53-56 ?
Habe ich per Tabelle geschaut, nur das ist leider nur p=0,50 und p=0,60 drin und daher gibts zwei verschiedene Werte...vll. dann die Mitte so 54 oder 55 bei p=5/9. *g*
Aber ich glaube das ist irgendwie falsch...

ist zwar in der nähe aber trotzdem noch zu weit weg

Zitat:

Und über die Normalverteilung hab ich auch mal was probiert und auf k=87 gekommen...?

da ist irgendwas falsch gelaufen...
also mit tabelle abschätzen ist quatsch, dann musst du es über normalverteilung lösen.
ansatz:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k)\geq 0.90 \end{eqnarray*}$

das heisst

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=\Phi \left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)\approx 0.10 \end{eqnarray*}$

und jetzt einfach nach k auflösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

gruss bil

15.01.2006, 15:39

SkYfiGhTeR

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Hi,

hmpf, alles klar. Das habe ich im Prinzip ganz genau so gemacht, nur sah's bei mir leider so aus:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-n*p}{\sqrt{n*p*(1-p)}}=1,29 \end{eqnarray*}$

Tja..und da fehlte eben ein Minus, denn es muss ja -1,29 heißen und dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} k=23,71 \end{eqnarray*}$ ? *gg*

Und dann eigentlich 23 oder 24 Spiele ?

- - - - - - - - - -

Aufgabe h):

Ich habe mir das mal überlegt und auch nochmal ein Baumdiagramm gemacht wie bei a) bzw. b) und einfach für die Wahrscheinlichkeiten für eins und drei x und y genommen. Und naja, irgendwie kommt dann da eine Gleichung zustande, die zeigt, dass es egal wäre, wie groß die beiden Sektoren 1 und 3 eingestellt würden - es ist immer ein faires Spiel, sobald schon die 2 mit p=1/2 auftritt. Kann das sein?

Ansonsten: Wie geht man da am besten vor...? *g*

15.01.2006, 16:26

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

hmpf, alles klar. Das habe ich im Prinzip ganz genau so gemacht, nur sah's bei mir leider so aus:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-n*p}{\sqrt{n*p*(1-p)}}=1,29 \end{eqnarray*}$

Tja..und da fehlte eben ein Minus, denn es muss ja -1,29 heißen und dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} k=23,71 \end{eqnarray*}$ ? *gg*

Und dann eigentlich 23 oder 24 Spiele ?

ist leider falsch... hast dich irgendwo verrechnet. setzt doch mal k=23 oder 24 zur überprüfung ein.
kommt dann -1,29 raus?
der ansatz stimmt auf jeden fall so:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-n*p}{\sqrt{n*p*(1-p)}}=-1,29 \end{eqnarray*}$

gruss bil

15.01.2006, 16:34

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Aufgabe h):

Ich habe mir das mal überlegt und auch nochmal ein Baumdiagramm gemacht wie bei a) bzw. b) und einfach für die Wahrscheinlichkeiten für eins und drei x und y genommen. Und naja, irgendwie kommt dann da eine Gleichung zustande, die zeigt, dass es egal wäre, wie groß die beiden Sektoren 1 und 3 eingestellt würden - es ist immer ein faires Spiel, sobald schon die 2 mit p=1/2 auftritt. Kann das sein?

bin mir bei der nicht 100%ig sicher aber ich hab das gleiche raus...

gruss bil

15.01.2006, 16:38

SkYfiGhTeR

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Hi,

richtig...Wurzel vergessen. :/

$\begin{eqnarray*} k=49,15 \end{eqnarray*}$

Also Intervall von [49; 100] ?

- - - -

Und bei Aufgabe h)? Könnte man das so hinbekommen mit Baumdiagramm usw. oder ist's verkehrt und braucht einen ganz anderen Ansatz?

Edit: Hm...ja irgendwie ist das wirklich überraschend. Ich hätte nicht gedacht, dass das völlig egal ist, wie groß die Sektoren gewählt werden müssen...komisch.

15.01.2006, 16:44

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

richtig...Wurzel vergessen. :/

$\begin{eqnarray*} k=49,15 \end{eqnarray*}$

Also Intervall von [49; 100] ?

Freude

Zitat:

Und bei Aufgabe h)? Könnte man das so hinbekommen mit Baumdiagramm usw. oder ist's verkehrt und braucht einen ganz anderen Ansatz?

Edit: Hm...ja irgendwie ist das wirklich überraschend. Ich hätte nicht gedacht, dass das völlig egal ist, wie groß die Sektoren gewählt werden müssen...komisch.

also ich habs mir so überlegt(ohne rechnung)
im endeffekt ist es egal wie gross die sektoren sind weil 1 und 3 beide ungerade sind. das heisst du kannst vom prinzip auch beide 1 nennen, für das spiel ändert sich da nichts. und wenn du beide 1 nennen
kannst ist es auch klar das es fair ist...

gruss bil

15.01.2006, 16:53

SkYfiGhTeR

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Hi,

ja..das stimmt ja eigentlich auch.

Naja und ich habe wie gesagt eben ein Baumdiagramm gemacht und die Wahrscheinlichkeit für den 1er Sektor mit x bezeichnet und die des 3er Sektors mit y und der 2er ist ja 1/2.

Ja und dann eben die Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgestellt für die Ziffernsummen 2-6 wie bei Aufgabe a) und dann eben die Summe von ungeraden und geraden gleichgesetzt und tja, da sieht man, dass man für x und y eigentlich egal was man einsetzt, immer die Gleichung erfüllt bekommt und daher ist es wohl egal.

Alles klar - dankeschön. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2006, 17:01

bil

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so ist es dann mathematisch auch korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

nichts zu danken...

gruss bil

17.01.2006, 21:29

SkYfiGhTeR

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Hi,

geht nochmal um eine solche Aufgabe die mehrere "Themen" umfasst.

Geht jedoch diesmal nur um die f) und die g) (s. Anhang).

Wir sollen die Aufgabe f) mit einem beidseitigem Test lösen (obwohl es normalerweise als einseitiger Test angesehen werden könnte).

f)

$\begin{eqnarray*} n=700 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=250 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_{0}: p_{0}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} 95,5% \end{eqnarray*}$ Sicherheitsniveau => $\begin{eqnarray*} 2\sigma\text{-Umgebung} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu=233\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma=12,47 \end{eqnarray*}$

Konfidenzintervall:

$\begin{eqnarray*} [0,32; 0,39] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,00112 \leq p \leq 0,71456 \end{eqnarray*}$

Irgendwie auch etwas komische Werte...

Aber so mit beidseitigem Test hat das ja noch nicht so arg was zu tun oder? *g*

Danke schon mal..

13.03.2006, 11:41

Technokuh

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Hallo,

ich habe mir gerade mal deine Aufgaben angeschaut.

Wie bekommst du diesen Wert raus?

P(150<x<130)=97,7%

Ich muss ja erst den Wert für 300 rausbekommen oder?

Also, (300-300*5/9/Wurzel(300*5/9*4/9)=eigentlich den Wert den man dann in der Tabelle ablesen kann, aber den ich hhier rausbekomme ist zu groß. Na u dann mach ich daselbe nochmal für 150, da kommt ja dann mein Tabellenwert(-1,94) raus.

Wär lieb, wenn mir das mal erklären könntest, weil mein einer Wert eben viel zu groß für die Tabelle ist.

Danke

13.03.2006, 16:32

bil

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Zitat:

Original von Technokuh
P(150<x<130)=97,7%

Ich muss ja erst den Wert für 300 rausbekommen oder?

Also, (300-300*5/9/Wurzel(300*5/9*4/9)=eigentlich den Wert den man dann in der Tabelle ablesen kann, aber den ich hhier rausbekomme ist zu groß. Na u dann mach ich daselbe nochmal für 150, da kommt ja dann mein Tabellenwert(-1,94) raus.

ich schätze mal du meinst P(150<X<300).dein genauer fehler liegt hier:

Zitat:

(300-300*5/9/Wurzel(300*5/9*4/9)

du hast dort falsch standardisiert. zusätzlich hast du auch die stetigkeitskorrektur vergessen. die normalverteilung wird hier als approximation der binomialverteilung genommen.
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

gruss bil

13.03.2006, 16:46

Technokuh

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Sorry, aber ich weis immer noch nicht wo mein Fehler liegt!
Habe jetzt diese Formel für Normalverteilung genommen. Mein n=300, mein k2=300 k1=150, mein p=579 u mein q=4/9 oder ist da jetzt was falsch? Wenn ich das alles so eingebe, bekomme ich für den Teil mit k=300 ein Phi von 15,5 u das ist jkawohl falsch...
Bitte erklär es mir doch einmal am Beispiel, dann kann ich es mir besser vorstellen. Danke

13.03.2006, 17:50

bil

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hi...
also hier die lösung:

$\begin{eqnarray*} P(150\leq X\leq 300)=P\left(\frac{150-0.5-np}{\sqrt{npq}}\leq X^*\leq \frac{300+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\Phi\left(\frac{300+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\left(\frac{150-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right) \end{eqnarray*}$

mit n=300, p=5/9 und q=4/9.

wenn du das jetzt einsetzt sollte das richtige rauskommen. wenn nicht, hast dich verrechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

13.03.2006, 18:04

Technokuh

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also für den ersten teil mit k=300 kriege ich wieder 15,5 raus, beim zweiten teil, bekomme ich einen anständigen phi wert raus, aber wieso klappt das beim ersten nicht? ich hab das so gerechnet, wie du mir die fomel aufgeschrieben hast u wie i sie vorher auch schon hatte

13.03.2006, 18:26

bil

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15.5 ist richtig

$\begin{eqnarray*} \Phi(15.5)\approx 1 \end{eqnarray*}$

und jetzt solltest du alleine weiter kommen...

gruss bil

13.03.2006, 18:32

Technokuh

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woher weist'n du das der rund 1 ist? weil die tabelle geht doch nur bis x=3,4
wenn mir das jetzt noch erzählst bin ich noch schlauer smile

smile

13.03.2006, 18:55

bil

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also hier wird allgmein erklärt was die normalverteilung ist:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
den link wirst mittlerweile wahrscheinlich schon kennen, auf jeden fall ist die phi funktion ein integral bzw.

$\begin{eqnarray*} \Phi(x)=\int_{-\infty}^x \dots \end{eqnarray*}$

diese ... stehen für die dichtefunktion bzw. die funktion der glockenkurve (das sagt dir wahrscheinlich mehr als dichtefunktion). alles im link nachlesbar.

hier z.b. mal ein bild das es vll deutlicher macht

$\begin{eqnarray*} \Phi(2)=0.97722 \end{eqnarray*}$

das blaue soll den flächeninhalt da stellen am pkt 2.

die 0.977 sind also die fläche von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis 2.
und die fläche von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis 15.5 ist ca. 1.
kannst dir ja mal deine tabelle genau anschaun, da wirst du sehen das es schon bei 3,4 knapp 1 ist.

gruss bil

13.03.2006, 18:58

Technokuh

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vielen dank, ich lese mir die seite morgen noch einmal in ruhe durch

29.03.2006, 16:49

SkYfiGhTeR

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Hi,

ich habe nochmal eine Frage zu der 1. Aufgabe die ich hier im Thread direkt im 1. Posting angehängt habe und dort zur Teilaufgabe f) die ich ja wie folgt berechnet hatte:

$\begin{eqnarray*} P(152,51 \leq X \leq 180,89)=90% \end{eqnarray*}$ bzw. da es ja keine halben Spiele usw. gibt $\begin{eqnarray*} P(153\leq X \leq 180)=90% \end{eqnarray*}$

Das habe ich ja per Binomialverteilung für große n gemacht bzw. eben per Sigma-Umgebung, da ich eine Tabelle mit den entsprechenden z-Werten zur Verfügung hatte und da bei 90% nachschauen konnte.

$\begin{eqnarray*} P=P(\mu - z\sigma \leq X \leq \mu + z\sigma) \end{eqnarray*}$

So, jetzt habe ich aber eine solche Tabelle nicht zur Verfügung (Klausur) und muss mir daher mit der Normalverteilung aushelfen schätze ich mal. *g*

Aber irgendwie komme ich da nicht auf's gleiche Ergebnis.

Kann ich dann einfach in der Tabelle für die Normalverteilung nachschauen und den entsprechenden z-Wert bei ca. 90% für Phi ablesen und dann mit $\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{k-n*p \pm 0,5}{\sqrt{n*p*(1-p)}} \end{eqnarray*}$ die beiden Werte ausrechnen, die ich auch mit der Sigma-Umgebung erhalten habe?

Wenn ich das so mache, bekomme ich zwei Werte die nicht wirklich weit voneinander entfernt sind und ungefähr bei 177 liegen..das kann ja nicht sein.

Wie muss ich da denn genau vorgehen bei der Normalverteilung?

Danke schon mal.

29.03.2006, 17:06

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Wie muss ich da denn genau vorgehen bei der Normalverteilung?

die z-werte bzw. die sigma regeln stammen alle aus der tabelle der normalverteilung.
verstehe nicht ganz das problem verwirrt

verwirrt

29.03.2006, 17:15

SkYfiGhTeR

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Hi,

öhm....also um die Teilaufgabe f) zu lösen habe ich wie gesagt $\begin{eqnarray*} P=P(\mu - z\sigma \leq X \leq \mu + z\sigma) \end{eqnarray*}$ benutzt.

Da ich gewusst habe, dass die Sicherheitswahrscheinlichkeit bei 90% liegen soll, habe ich hier in einer Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten von Sigma-Umgebungen den Wert für 90% abgelesen, der bei 1,64 bzw. 1,65 lag und damit dann mein Intervall bekommen.

Wenn ich der Tabelle für die Normalverteilung bei 1,64 bzw. 1,65 schaue, bekomme ich 0,94950 bzw. 0,95053.

D.h. da muss oder da besteht schon irgendwie ein Unterschied. Ich habe das ja jetzt nicht per Normalverteilung gerechnet, sondern per Sigma-Umgebung.

Und ich wollte jetzt mal wissen, wie ich die Aufgabe f) per Normalverteilung löse (also von der Aufgabe auf Seite 1 die f) ).

29.03.2006, 17:46

bil

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aso... verstehe...
der unterschied liegt an der tabelle. wenn man eine zweiseitige normalverteilungstabelle nimmt stimmen die werte, wenn man eine einseitige nimmt dann nicht.
bei der einseiten tabelle nimmt man rechts ca 5% zu viel mit, siehe bild.

also mit der normalen tabelle (einseitig) kommst du so an dein z-wert ran:
standardisieren ergibt:

$\begin{eqnarray*} P(-z\leq X\leq z)=\Phi(z)-\Phi(-z)=\Phi(z)-(1-\Phi(z))=2\Phi(z)-1=0.9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi(z)=\frac{1,9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi(z)=0.95 \end{eqnarray*}$

und 0.95 gibt in der einseitigen tabelle z=1.65

alles verstanden?

gruss bil

29.03.2006, 18:23

SkYfiGhTeR

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Hi,

joa...ist im Prinzip klar. Also kann ich mir hier auch einfach merken $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1=\text{Sicherheitswahrscheinlichkeit} \end{eqnarray*}$ ?

Und ansonsten ist es dann klar, wie ich auf den z-Wert mit der einseitigen Normalverteilung-Tabelle komme.

Nur wieso kann ich dann mit dem gefunden z-Wert wieder die Vorgehensweise wie bei der Sigma-Umgebung verwenden: $\begin{eqnarray*} P=P(\mu - z\sigma \leq X \leq \mu + z\sigma) \end{eqnarray*}$

Und kann nicht das $\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{k-n*p \pm 0,5}{\sqrt{n*p*(1-p)}} \end{eqnarray*}$ hier nehmen und entsprechnd nach k umstellen? Denn dann bekomme ich ja nicht wirklich die Werte raus. Das sind dann zwei sicher nur wenig unterscheidende, andere Werte.

Danke.

29.03.2006, 18:38

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

joa...ist im Prinzip klar. Also kann ich mir hier auch einfach merken $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1=\text{Sicherheitswahrscheinlichkeit} \end{eqnarray*}$ ?

Und ansonsten ist es dann klar, wie ich auf den z-Wert mit der einseitigen Normalverteilung-Tabelle komme.

ja so kann man sich es merken. in büchern findest du meistens folgende umformung:

$\begin{eqnarray*} \Phi(z)=\frac{1+\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nur wieso kann ich dann mit dem gefunden z-Wert wieder die Vorgehensweise wie bei der Sigma-Umgebung verwenden: $\begin{eqnarray*} P=P(\mu - z\sigma \leq X \leq \mu + z\sigma) \end{eqnarray*}$

schau dir nochmal genau meine rechnung an. da ist alles drin was man braucht.

29.03.2006, 19:27

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm..komme noch nicht sooo ganz dahinter irgendwie...hmpf, vll. kommts ja noch, glaubs aber nicht...grummel.

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