Stückweise affine Funktionen

14.01.2006, 16:16	gessi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stückweise affine Funktionen Hallo! Ich habe die folgende Aufgabe: Die Funktion f:[a,b] -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sei stetig. Beweisen Sie, dass zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ > 0 eine stetige, stückweise affin-lineare Funktion g:[a,b] -> R existiert mit \|f(x) - g(x)\| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ für alle x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [a,b]. Lassen sich stetige Funktionen auch durch stückweise konstante Funktionen definieren? Soweit die Aufgabe. Davor stehen noch die Definitionen von stückweise konstanten und affin-linearen Funktionen; außerdem "In den Stützstellen der Unterteilung wird die Funktion so definiert, dass sie dort links- o. rechtsseitig stetig ist". Sind die Stützstellen die Intervallenden? Ich verstehe momentan gar nicht, was diese stückweisen Funktionen genau sind (sind das einfach Funktionen auf einzelnen Intervallen?) und weiß einfach nicht, wie ich da überhaupt anfangen soll.
14.01.2006, 20:35	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das Intervall [a,b] in kleinere Teilintervalle zerlegst und eine Funktion so definierst, dass du angibst wie sie auf den einzelnen Teilintervallen auszusehen hat, dann hast du eine Funktion auf dem ganzen Intervall [a,b] eben stückweise definiert. Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist gleichmäßige stetig. Damit bekommst du für ein beliebiges $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , das dir hilft, das Intervall in Teilintervalle zu zerlegen, wo du dann eine Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ stückweise affin-linear oder konstant definieren kannst, die die Bedingung erfüllt. lg thoroh

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