Komposition (un)stetiger Funktionen

14.01.2006, 19:03	Interessent	Auf diesen Beitrag antworten »
Komposition (un)stetiger Funktionen Hallo alle miteinander, dass die Komposition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, ist mir bekannt. Wie steht es aber mit der Komposition zweier unstetiger Funktionen? Ist sie immer unstetig oder kann sie auch stetig sein? Falls sie stetig sein kann, wäre es schön, wenn ihr zur Veranschaulichung ein paar Beispiele hättet.
14.01.2006, 22:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann man sich alles Mögliche überlegen. Um es nicht allzu billig zu machen, nehme man die auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definierten Funktionen $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{für} \ x \in \mathbb{Q} \\ -1 & \mbox{für} \ x \not \in \mathbb{Q }\end{cases} \, , \ \ \ g(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{für} \ x \in \mathbb{Q} \\ \sqrt{\|x\|} & \mbox{für} \ x \not \in \mathbb{Q }\end{cases} \end{eqnarray}$ und betrachte $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ .
16.01.2006, 09:58	Interessent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt, bin ich nicht so der Mathecrack. Gibt es auch leichtere Beispiele? Vielleicht welche, die auf IR definiert sind (solche Funktionen hatte ich immer in der Schule)?
16.01.2006, 11:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein auf IR definiertes Beispiel! Aber gut, hier was einfacheres: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0\\ 1& \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Und dann betrachte $\begin{eqnarray} f\circ f \end{eqnarray}$ .
16.01.2006, 11:54	Interessent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, vielen Dank. Das ist auch für mich anschaulich.

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