Grundlegende Verständnisfrage zur Lipschitzstetigkeit

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o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »
Grundlegende Verständnisfrage zur Lipschitzstetigkeit
Hallo!

Zunächst die mir bekannte Definition von Lipschitzstetigkeit:
Eine Funktion (wobei das eine Teilmenge sein soll, habs im Formeleditor nicht gefunden smile ) heißt Lipschitzstetig in D, wenn es eine reelle Konstante C und eine Umgebung so gibt, dass (soll bzw. heißen) für alle .

Außerdem noch folgender Satz:
Ist in D Lipschitzstetig, so ist f in stetig.

Wenn ich aber nun folgende Funktion betrachte:
, für und für .

Ich weiß, dass diese Funktion nicht stetig ist. Somit darf sie nach dem Satz auch nicht Lipschitzstetig sein. Allerdings verstehe ich nicht ganz, wieso die Lipschitzstetigkeit hier nicht zutrifft. Ich kann doch das C so wählen, dass die Bedingung immer erfüllt ist.

Wäre nett, wenn mir dies jemand erläutern könnte.

Schon einmal vielen Dank!

LG, o.B.d.A.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundlegende Verständnisfrage zur Lipschitzstetigkeit
Zitat:
Original von o.B.d.A.
, für und für .

Ich weiß, dass diese Funktion nicht stetig ist.


Wieso ist diese Funktion nicht stetig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundlegende Verständnisfrage zur Lipschitzstetigkeit
Es kann natürlich sein, dass ich gerade ziemlich aufm Schlauch stehe...
Aber eigentlich bin ich der Meinung, dass die Funktion in unstetig ist, da sie dort eine Sprungstelle hat.
Wenn ich mir jedoch die Def. der Lipschitzstetigkeit ansehe würde ich sagen, dass sie in diesem Punkt aber Lipschitzstetig ist.
Ich kann doch schließlich ein C finden, so dass die Ungleichung erfüllt ist.

Helft mir bitte mal auf die Sprünge! smile
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Polynomfunktionen,die du da oben angegeben hast, sind auf ganz R stetig aber nicht Lipschitzstetig (warum?).

Du hast aber damit recht,wenn du sagst die Funktionen sind in diesen Intervallen Lipschitzstetig. Denn auf unbeschränkten Intervallen ist eine Funktion nicht Lipschitzstetig. Wenn du also nur eine Teilmenge betrachtest,dann ist die Bedingung erfüllt.

Versuche dir das im eindimensionalen klar zu machen
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n!
Diese Polynomfunktionen,die du da oben angegeben hast, sind auf ganz R stetig aber nicht Lipschitzstetig (warum?).


Einzeln betrachtet sind sie stetig. Aber wenn die Funktion f doch für gewisse x aus der einen und für gewisse x aus der anderen Funktion besteht, dann ist doch die gesamte Funktion f im Punkt x=3 unstetig oder? Und das wäre ja ein Widerspruch in Bezug zur Lipschitzstetigkeit im Intervall.
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch mal die einseitigen Grenzwerte im Punkt x_0=3 an. Meiner Meinung nach haben die sowohl von links als auch von rechts den Wert 9.
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Schau dir doch mal die einseitigen Grenzwerte im Punkt x_0=3 an. Meiner Meinung nach haben die sowohl von links als auch von rechts den Wert 9.


Da hast du natürlich recht! Sorry, wollte willkürlich zwei Funktionen nehmen, die ungefähr so aussehen. Aber der Zufall wollte es und sie sind genau stetig. Also nehmen wir doch besser für die zweite Funktion x+8 oder so....

Dann glaube ich, dass die Funktion f Lipschitzstetig ist aber nicht stetig.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von o.B.d.A.
Dann glaube ich, dass die Funktion f Lipschitzstetig ist aber nicht stetig.


Auf keinen Fall, aber schreib doch mal deine Zeile auf und versuch es zu beweisen.
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nach dem Satz (am Anfang dieses Themas), dass dies nicht möglich ist. Allerdings versuche ich mir dies zu verdeutlichen.

Also stetig ist sie in ja nicht, oder? Somit kann sie ja auch nicht lipschitzstetig sein. Allerdings wenn ich mir dies skizziere verstehe ich nicht, warum man nicht so eine Umgebung und ein C finden kann, so dass die Bed. für die Lipschitzstetigkeit erfüllt ist. Mir scheint es, als ob ich die Def. von der Lipschitzstetigkeit noch nicht richtig verstanden habe. Nach meiner Auffassung könnte man doch eine ganz kleine Epsilon-Umgebung wählen und das C sehr groß, so dass auf jeden Fall die Ungleichung erfüllt ist.

Ich weiß, dass eigentlich hier in dem Board keine direkten Lösungen gepostet werden, aber ich glaube mir würde durch eine Lösung klar werden, wo mein Denkfehler ist.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Na mal ganz unmathematisch:
Du kannst in einer Umgebung von x_0=3 beliebig dicht an x_0 heranrücken, so dass für jedes beliebiges . Das kannst du mit der Umgebung von f(x_0) nicht machen.
Ich denke dein entscheidender Denkfehler ist, dass die Konstante C nicht von abhängen darf.
Somit kann nur die Lipschitzforderung erfüllen, also ist diese Funktion in x_0=3 nicht L-stetig.

Nur zu Vollständigkeit: Es geht um die Funktion
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich wollte mich, wenn auch etwas verspätet (sorry!), bei Dual Space für die Bemühungen bedanken. Habe mir das Thema nochmal in Ruhe angeschaut und jetzt auch begriffen, was die LStetigkeit aussagt.

Viele Grüße,
o.B.d.A.
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