Operatornorm

15.05.2008, 21:21

bishop

Operatornorm

guten Abend alle zusammen,

heute geht es mir um die Operatornorm Ich scheitere etwas an der praktischen Ausführung. Ich nehme doch eine beliebige Matrix A und multipliziere sie mit einem normiereten Vektor x. Ich erhalte einen Vektor Ax und führe nun die Euklidische Norm durch. Dann erhalte ich sowas wie
$\begin{eqnarray*} |Ax|=\sqrt{\sum_{j=1}^n~(ax)^2_j} \end{eqnarray*}$ Die $\begin{eqnarray*} (ax)_j \end{eqnarray*}$ bedeuten etwas schlampig formuliert die Zeileneinträge von Ax, wobei diese ja durch ein weiteres Skalarprodukt bei der Matritzenmultiplikation entstanden sind. Mich stört jetzt etwas dieses $\begin{eqnarray*} sup_{|x|=1} \end{eqnarray*}$ , wie deute ich das? Ist der Wert der Norm jetzt der grösste Summand $\begin{eqnarray*} (ax)^2_j \end{eqnarray*}$

gruß bishop

16.05.2008, 09:36

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Also wenn, dann ist $\begin{eqnarray*} |Ax|=\sqrt{\sum_{i=1}^n~\left( \sum_{j=1}^n~a_{ij}x_j \right)^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bishop
Mich stört jetzt etwas dieses $\begin{eqnarray*} sup_{|x|=1} \end{eqnarray*}$ , wie deute ich das? Ist der Wert der Norm jetzt der grösste Summand $\begin{eqnarray*} (ax)^2_j \end{eqnarray*}$

Genau genommen heißt es:
$\begin{eqnarray*} ||A|| = sup_{|x|=1}|A*x| \end{eqnarray*}$
Es bedeutet, daß nur Vektoren x betrachtet werden, deren Norm 1 beträgt. Von diesen Vektoren bestimmt man das Supremum der Werte ||A*x||.

Zitat:

Original von bishop
der Wert der Norm jetzt der grösste Summand $\begin{eqnarray*} (ax)^2_j \end{eqnarray*}$

Nöö, wieso?

16.05.2008, 09:36

kiste

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Hallo,
das Supremum über |x|=1 bedeutet das du alle x anschaust die normiert sind. Und dann nimmst du den größten Wert |Ax| der dabei rauskommt.

Also sowas wie:
$\begin{eqnarray*} \sup \{ |Ax| ~\mid ~ |x|=1 \} \end{eqnarray*}$

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