Vektoriell Fläche und Winkel bestimmen

15.01.2006, 11:36

fahrschuljosef

Vektoriell Fläche und Winkel bestimmen

hi ich habe hier ein kleines problem, mit den winkeln

habe 3 punkte die ein dreieck bilden

A ( 0; 1; 0) B ( 1; -2; 1) C ( 3, 0; -2)

so habe dann die vektoren bestimmt

c = (1, -3, 1) a = ( 2, 2, -3) und b = ( -3, 1, 2)

so jetzt hab ich die winkel gemäss skalarprodukt auszurechnen versucht

cos winkel = skalarprodukt/ betrag der einzelnen vektoren malgenommen

dann komme ich aber auf winkel , die viel zu groß sind

alpha ist bei mir 110, 3 °

beta 120, 78 °

und gamma sogar 134, 43 grad

was hab ich falsch gemacht?

15.01.2006, 11:48

mYthos

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Tipp:

Du könntest versehentlich auch die Aussenwinkel erhalten haben ...
Vektoren RICHTIG orientieren! Sicherstellen, dass die Innenwinkel ermittelt wurden.

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{AC} \end{eqnarray*}$ (du hast $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ berechnet ..)

Gr
mYthos

15.01.2006, 12:17

MrPSI

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Zusatz zu mYthos' Beitrag:

mit "richtig" orientiert meint man, dass die beiden Vektoren von dem Eckpunkt weggerichtet sind, aber jeder der einzelnen Vektoren zu einem anderen Eckpunkt hinzeigt.

15.01.2006, 12:20

fahrschuljosef

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ja hab ich doch, dann c geht von A nach B a von B nach C und C von B nach A

15.01.2006, 12:25

MrPSI

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das musst du für ALLE Vektoren machen!
du musst bei jeder Winkelberechnung die geeigneten Vektoren berechnen bzw anpassen. Das geht am einfachsten, wenn man einfach ein Minus vor den Vektor setzt, denn so wird die Richtung umgekehrt.

15.01.2006, 12:32

rain

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es ist doch im prinzip egal,wie die vektoren orientiert sind,da man eh immer den schnittwinkel zwischen 0° und 90° erhält,da spielt es doch keine rolle wie die vektoren orientiert sind,zumal im dreieck die innenwinkel oftmals unter 90° sind.

15.01.2006, 12:34

MrPSI

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doch es spielt eine Rolle, denn je nachdem wie die Winkel orientiert sind, kommen Außen- oder Innenwinkel zustande.

15.01.2006, 12:43

rain

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Zitat:

cos winkel = skalarprodukt/ betrag der einzelnen vektoren malgenommen

diese formel ist definiert für $\begin{eqnarray*} 0°\leq \alpha \leq 90° \end{eqnarray*}$ .
im nenner sind es beträge,da spielen die vorzeichen und orientierungen schon mal keine rolle.im zähler ist es auch dasselbe,wenn man hat $\begin{eqnarray*} \vec{AB}= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ;\vec{BA} =\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} ;\vec{BC} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} ;\vec{CB} =\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,ob man rechnet $\begin{eqnarray*} \mid \vec{AB} \cdot \vec{BC}\mid=\mid 2+(-6)+(-3)\mid=\mid -7 \mid \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mid \vec{AB} \cdot \vec{CB}\mid=\mid (-2)+ 6 +3 \mid=\mid 7 \mid \end{eqnarray*}$ ,da es wie du siehst dasselbe ist.
mfg,rain

15.01.2006, 12:52

MrPSI

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Zitat:

Original von raindrop1987
diese formel ist definiert für $\begin{eqnarray*} 0°\leq \alpha \leq 90° \end{eqnarray*}$ .

das stimmt schonmal nicht! wenn man sich die Herleitung ansieht, so erkennt man, dass die Formel für beliebige Winkel gilt!

Weiters ist deine Überlegung mit den Vektoren falsch, da im Zähler keine Beträge vorkommen!

15.01.2006, 12:57

mYthos

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Zitat:

Original von fahrschuljosef
ja hab ich doch, dann c geht von A nach B a von B nach C und C von B nach A

nein, sondern

c geht von A nach B, a von B nach C und b von A nach C

und darin liegt auch dein Fehler!

Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (ACB) musst die Vektoren umorientieren, also $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{CB} \end{eqnarray*}$ verwenden.

15.01.2006, 12:58

rain

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also,dann kanns sein dass wir unterschiedliche formeln kennen gelernt haben.
ich habe es so gelernt und so stehts auch in meinem tafelwerk:

für den schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0°\leq \alpha \leq 90° \end{eqnarray*}$ zwischen zwei vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{m_g};\vec{m_h} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )=\frac{\mid \vec{m_g} \cdot \vec{m_h} \mid}{\mid \vec{m_g}\mid \cdot \mid \vec{m_h}\mid} \end{eqnarray*}$

mfg,rain

15.01.2006, 13:02

MrPSI

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und meine Formel lautet so:
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec{b} \mid} \end{eqnarray*}$

für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b} \end{eqnarray*}$ und beliebige Schnittwinkel.

ok, dann wars wirklich ein Irrtum bezügl. der Formeln.
Sorry, für meine harsche Art.

15.01.2006, 13:02

mYthos

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@raindrop

Wenn du den Zähler auch absolut nimmst, dann stimmt es. Dies darf für diese Aufgabe jedoch nicht so eingeschränkt werden, speziell dann, wenn der (Innen-)Winkel > 90° ist.

15.01.2006, 13:04

rain

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@MrPSI.
ok,da haben wir unterschiedliche formeln.kein problem.

01.02.2006, 22:18

Rafiz

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RE: Vektoriell Fläche und Winkel bestimmen
Laut deiner Thread-Überschrift suchst du bestimmt die Fläche dieses Dreiecks.
Die Fläche ist auch 0,5 multipliziert mit dem Betrag des Kreuzproduktes der Vektoren AB und AC.

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