Verallgemeinerte Ableitung

15.01.2006, 12:30	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerte Ableitung Und schon wieder hab ich ein Problem: Ich beschäftige mich gerade mit Sobolevräumen und daher auch mit verallgemeinerten Ableitungen. Bei deren Herleitung bin ich nun auf folgende Gleichung gestoßen $\begin{eqnarray} \int_G u\frac{\partial v}{\partial x_i} d x = -\int_G \frac{\partial u}{\partial x_i}v d x \end{eqnarray}$ dabei ist $\begin{eqnarray} G\subset \mathbb{R}^N \end{eqnarray}$ beschränkt und offen und $\begin{eqnarray} u\in C^1(G) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v\in C^\infty_0(G) \end{eqnarray}$ . Nun meine Frage: Warum gilt diese Gleichheit? Irgendwie sieht das ganz nach partieller Inegration aus, aber ich seh' es nicht!
15.01.2006, 13:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ganz exakt krieg ich das jetzt auch nicht zusammen, ist lange her (und zum Nachblättern bin ich jetzt zu faul ). Aber es hängt sicher damit zusammen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} v\in C^\infty_0(G) \end{eqnarray}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ verschwindet, gleiches gilt dann natürlich auch für $\begin{eqnarray} u\cdot v \end{eqnarray}$ .
15.01.2006, 13:06	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das seh ich auch so. Versuche es grad über den Gaußschen Integralsatz zu erklären, mal schauen wie weit ich komme ... Edit: Nur der Vollständigkeit halber. Wie so oft hat Arthur mit seiner Vermutung voll ins schwarze getroffen, denn mit dem Wissen, dass v auf dem Rand von G verschwindet, ist der Beweis ein Einzeiler, wenn man mal die Gleichung für die partielle Integration ausschreibt. Also: Danke Arthur!

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