Flächenelement Polarkoordinaten

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16.05.2008, 00:45

noob

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Flächenelement Polarkoordinaten

Hallo,
ich kapiere einfach nciht, wie in den Polarkoordinaten ein Flächenelement entsteht unglücklich

$\begin{eqnarray*} dA = r \cdot d \Phi \cdot dr \end{eqnarray*}$

Diese obere Gleeichung kapier ich nicht unglücklich

Bin dankbar für Hilfe

Grüsse

16.05.2008, 03:28

WebFritzi

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Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} \psi(r,\varphi) = (r\cos\varphi,r\sin\varphi)^T \end{eqnarray*}$

Nach dem Transformationssatz gilt

$\begin{eqnarray*} dA = |\det \psi'(r,\varphi)|\;dr\;d\varphi. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \psi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\\sin\varphi & r\cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} dA = |r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi|\;dr\;d\varphi = r\;dr\;d\varphi. \end{eqnarray*}$

16.05.2008, 09:29

noob

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Zitat:

Original von WebFritzi
Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} \psi(r,\varphi) = (r\cos\varphi,r\sin\varphi)^T \end{eqnarray*}$

Nach dem Transformationssatz gilt

$\begin{eqnarray*} dA = |\det \psi'(r,\varphi)|\;dr\;d\varphi. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \psi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\\sin\varphi & r\cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} dA = |r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi|\;dr\;d\varphi = r\;dr\;d\varphi. \end{eqnarray*}$

Danke,
leider habe ich davon fast nichts verstanden unglücklich

Mir geht es derzeit nur darum, dass ich ein Mehrfachintegral lösen kann. Beispielsweise die Fläche des Kreises. Die Grenzen sind mir klar, nur die Integrationsvariablen nicht.

Aber torotzdem, um auf den Post bezug zu nehmen. WÄre ja schön wenn ich das trotzdem verstehe smile

Ich kapier schon die erste Zeile nicht. Polarkoordinaten ist doch, wenn ich anstatt kartesisch, einen Punkt mit einem Vektor und einem Winkel darstelle.
Deswegen folgt aus der Geometrie, dass der X Wert die Länge des Vektors mal dem Kosinus des Winkels ist und der y Wert die Länge des Vektors mal dem Sinus des Winkels.
Das ist auch der Inhalt der Klammer. Was ich nun ich verstehe ist:
Was soll der linke Term bedeiten? Was ist Psi?
Das hochgestellte T habe ich gelernt, dass man eine Matrix transponiert. Was das ist habe ich auch gelernt, aber warum macht man das hier? verwirrt

Danke
Grüsse

16.05.2008, 10:11

klarsoweit

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Das Integral für die Kreisfläche sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \int_{x^2+y^2 \leq 1}\int~1~dA \end{eqnarray*}$

Dabei werden infinitesimal kleine Flächenstückchen dxdy mit 1 multipliziert und aufaddiert. Wenn man das mit Polarkoordinaten rechnen will, macht man die Transformation:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r~cos(\phi) \\ r~sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(WebFritzi hat hier die transponierte Schreibweise gewählt, um sich senkrechte Vektoren zu sparen.)

Bei den Polarkoordinaten würde also für das Abmessen des Einheitskreises der Radius r von 0 bis 1 und der Winkel phi von 0 bis 2pi laufen. Wir müssen dabei aber nun schauen, wie sich das mit der "Größe" eines infinitesimalen Flächenstückchen dA verhält. Siehe dazu die Skizze. Wie man leicht sieht, werden diese Flächenstückchen "weiter draußen" - also mit größerem r - immer größer, und zwar proportional zu r. Daher ist in Polarkoordinaten
$\begin{eqnarray*} dA = r~dr~d\phi \end{eqnarray*}$

Der hier eher anschauliche Zusammenhang wird mathematisch exakt in dem Transformationssatz beschrieben. Wir haben nun:

$\begin{eqnarray*} \int_{x^2+y^2 \leq 1}\int~1~dA = \int_0^{2\pi}~\int_0^1~r dr d\phi \end{eqnarray*}$

16.05.2008, 10:29

noob

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@klarsoweit
Danke für die ausführliche Erklärung.
Ich habe alles bis auf einen Teil verstanden:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie man leicht sieht, werden diese Flächenstückchen "weiter draußen" - also mit größerem r - immer größer, und zwar proportional zu r. Daher ist in Polarkoordinaten
$\begin{eqnarray*} dA = r~dr~d\phi \end{eqnarray*}$

Ja, dass das Flächenstück bei grösserem Abstand grösser wird sehe ich. Ich kapier aber immer noch nicht, wieso man dieses Flächenstückchen so berechnet unglücklich

Welche Grundgeometrie liegt dem zugrunde? Kleiner Winkel, mal ganzem Radius mal winzig kleiner Radius ergibt Fläche verwirrt

Diesen Schritt kapier ich nicht unglücklich

16.05.2008, 11:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von fit_for_fun
Welche Grundgeometrie liegt dem zugrunde? Kleiner Winkel, mal ganzem Radius mal winzig kleiner Radius ergibt Fläche verwirrt

Im Prinzip ja. Das Problem ist halt, daß man von einer geometrischen Vorstellung kommt, die man bei dem infinitesimalen Übergang beibehalten will, was dann zu einer geistigen Verknotung führt.

Also wir nehmen mal einen Punkt (r*cos(phi), r*sin(phi)) und gehen von diesem Punkt ein Stückchen weiter zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} ((r+\Delta r) \cdot cos(\phi + \Delta \phi),~ (r+\Delta r) \cdot sin(\phi + \Delta \phi)) \end{eqnarray*}$ .

Das Kreissegment, daß von diesen beiden Punkten begrenzt wird, hat die Fläche

$\begin{eqnarray*} \Delta A = \pi \cdot \frac{\phi + \Delta \phi - \phi}{2\pi} \cdot ((r+\Delta r)^2 - r^2) = \frac 1 2 \cdot \Delta \phi \cdot (r+\Delta r + r) \cdot \Delta r \end{eqnarray*}$

Nun machen wir den infinitesimalen Übergang (auf mathematisch nicht ganz formal sauberer Schreibweise):

$\begin{eqnarray*} \frac{dA}{dr ~ d\phi} = \lim_{\Delta r \to 0, \Delta \phi \to 0}~\frac{\Delta A}{\Delta r \cdot \Delta \phi} = r \end{eqnarray*}$

Umgestellt ist also: $\begin{eqnarray*} dA = r~dr~d\phi \end{eqnarray*}$

Das ist im Prinzip analog zur Substitutionsregel bei der eindimensionalen Integration.

16.05.2008, 13:01

noob

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Danke. Es ist eindeutig klarer geworden. Nicht hundert prozentig, aber ich bin auf dem Weg.
Werde mir demnächst mal genauer ansehen, was es mit Funktionsdeterminanten auf sich hat.

Nun eine zwiete Frage zu diesem Flächenelement.

Ich habe ja, beispielsweise beim Kreis meine zwei Integrale, die Kreisgleichung und dieses Flächenelement.
Dann integriere ich doch zuerst das innere Integral und dann das äußere.

Die Grenzen sind einem von 0 bis R und von 0 bis 2PI

Welcher Teil des Flächenelementes gehört den nun zu welchem Integral? verwirrt

Ich habe kartesisch ein Mehrfachintegral ausgerechnet, aber das weiss ich ja, ich integriere jetzt beispielsweise nach x und lasse y konstant und zieh es mit. Wie sieht das hier aus?

Danke smile

Grüsse

16.05.2008, 13:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von fit_for_fun
Die Grenzen sind einem von 0 bis R und von 0 bis 2PI

Ja, wenn dein Kreis den Radius R hat.

Zitat:

Original von fit_for_fun
Welcher Teil des Flächenelementes gehört den nun zu welchem Integral? verwirrt

Das Flächenelement dA gehört zu dem Doppelintegral. Da die Integrationsvariablen r und phi unabhängig voneinander sind, kannst du die Einzelintegrale in beliebiger Reihenfolge berechnen. Das ist ja gerade der Vorteil beim Übergang von kartesischen in Polarkoordinaten.

16.05.2008, 14:50

noob

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Okay,
ich danke dir. Ich habe nun folgendes gemacht. Kann mir bitte jemand sagen, ob das so okay ist?

$\begin{eqnarray*} A = \int_{A} \ r\cdot \mathrm{d} \phi \cdot \mathrm{d} r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int\limits^{\mathrm{2 \pi}}_{\mathrm{0}} ~ \int\limits^{\mathrm{r}}_{\mathrm{0}} \ r \cdot \mathrm{d} \phi \cdot \mathrm{d} r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int\limits^{\mathrm{2 \pi}}_{\mathrm{0}} r \ r \cdot \mathrm{d} \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{r^{2}}{2} \cdot \phi = \frac{r^{2}}{2} \cdot 2 \pi = \pi \cdot r^{2} \end{eqnarray*}$

Danke smile

Grüsse

16.05.2008, 16:05

klarsoweit

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Ich glaube, du solltest nochmal ein bißchen Integralrechnung üben:

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} A = \int\limits^{\mathrm{2 \pi}}_{\mathrm{0}} ~ \int\limits^{\mathrm{r}}_{\mathrm{0}} \ r \cdot \mathrm{d} \phi \cdot \mathrm{d} r \end{eqnarray*}$

Die obere Grenze beim Integral über den Radius sollte R sein.

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} A = \int\limits^{\mathrm{2 \pi}}_{\mathrm{0}} r \ r \cdot \mathrm{d} \phi \end{eqnarray*}$

Wenn man das mit dem r korrigiert und R schreibt, würde da stehen: $\begin{eqnarray*} A = \int\limits^{\mathrm{2 \pi}}_{\mathrm{0}} R \ R \cdot \mathrm{d} \phi \end{eqnarray*}$
Das ist aber falsch. $\begin{eqnarray*} \int_0^R~r~dr \neq R^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} A = \frac{r^{2}}{2} \cdot \phi \end{eqnarray*}$

Grober Unfug. Wenn das Integral verschwindet, muß auch die Integrationsvariable verschwinden.

16.05.2008, 16:31

noob

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Okay, danke.

Wenn das was ich geschrieben habe so stark falsch ist, weshalb kommt dann das richtige Ergebniss für eine Kreisfläche heruas?

Warum muss die obere Grenze ein grosses R sein und darf kein kleines sein?

Wie meinst du den letzten Satz, dass das Phi verschwinden muss, wenn auch das Integral verschwindet?

Grüsse

16.05.2008, 18:44

WebFritzi

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Wenn A der Kreis um den Nullpunkt mit Radius R ist, dann sollte es so aussehen:

$\begin{eqnarray*} {\rm vol}(A) = \int_A 1\;d\vec x = \int_0^{2\pi}\int_0^R r\;dr\;d\varphi = \int_0^{2\pi}\left[ \frac{1}{2}r^2\right]_0^R\;d\varphi = \frac{1}{2}R^2\cdot 2\pi = \pi R^2. \end{eqnarray*}$

16.05.2008, 22:23

noob

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wenn A der Kreis um den Nullpunkt mit Radius R ist, dann sollte es so aussehen:

$\begin{eqnarray*} {\rm vol}(A) = \int_A 1\;d\vec x = \int_0^{2\pi}\int_0^R r\;dr\;d\varphi = \int_0^{2\pi}\left[ \frac{1}{2}r^2\right]_0^R\;d\varphi = \frac{1}{2}R^2\cdot 2\pi = \pi R^2. \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich verwirrt

Das ist doch abgesehen davon, dass es etwas sauberer aufgeschrieben ist, das Gleiche das ich auch gerechnet habe.
Geht es nur um den Aufschrieb? geschockt

17.05.2008, 15:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von fit_for_fun
Das ist doch abgesehen davon, dass es etwas sauberer aufgeschrieben ist, das Gleiche das ich auch gerechnet habe.

Wenn du deine Rechnung anschaust, wirst du sehen, daß das nicht das gleiche ist. Du hast zwar das gleiche Ergebnis, aber nur deshalb, weil du 2 merkwürdige (falsche) Rechenschritte machst, wo sich der Fehler aufhebt.

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