integral 1/sinx dx

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nd21 Auf diesen Beitrag antworten »
integral 1/sinx dx
wir sinds mal wieder...
...diesmal soll
durch substitution gelöst werden.
Aus der Lösung geht hervor, dass wohl tan(x/2) substituiert wurde.
Wer hat hierzu Ansätze?

Danke!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: integral 1/sinx dx
Du hast doch schon einen guten Ansatz:

Zitat:
Original von nd21
Aus der Lösung geht hervor, dass wohl tan(x/2) substituiert wurde.

Musst du nur durchziehen!
 
 
nd21 Auf diesen Beitrag antworten »

...gut, aber wie komme ich auf tan(x/2) in diesem term? Also wie forme ich 1/sinx so um, dass ich tan(x/2) erhalte?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Lass das völlig in Ruhe und Ersetze erst einmal das durch das entsprechende . Wegen ergibt sich der ganze Rest von selbst.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Substitution ist generell eine gute Idee bei Integralen der Form



mit einer gebrochen rationalen Funktion . Diese Substitution führt dann nämlich zu



und damit zu einem Integral einer gebrochen rationalen Funktion in , und die sind bekanntlich vollständig beherrschbar (wenn man die Nennernullstellen findet Augenzwinkern ).


P.S.: Der Weg über ist für solche Integranden nicht notwendig immer der beste, da gibt es in vielen Fällen einfachere und kürzere. Aber er klappt garantiert.
nd21 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank das hat mir sehr geholfen!
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich sitze gerade auch an dieser Aufgabe.

Wenn gleich ist, ist ist doch dann gleich .

Ich muss doch dann das irgendwie durch z ersetzen. Dazu müsste ich doch die Gleichung nach auflösen... Und die Lösung dann für das x in das Integral schreiben.

Dann kriege ich aber.

Glauib kaum, dass das richtig ist... :-(
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Diese Substitution führt dann nämlich zu




Lesen hilft dabei gewaltig weiter Augenzwinkern
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber das hilft mir irgendwie nicht. Wie kommt man denn auf diese Formeln?

Wenn ich die anwende, komme ich auf , oder?

Aber da kann ich dann auch nicht weitermachen...

Es soll ja folgendes rauskommen:

Also ich blicks leider nicht...
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@Milkaschokolade

bei deiner ersten Berechnung von dx hast du einen Fehler gemacht. Du musst ableiten. Du hast aber nur z=tan(x) abgeleitet.

Auch dein Integral im letzten Posting scheint mir nicht ganz richtig. Substituiere ganz konsequent so, wie Arthur es geschrieben hat.

Hier mal noch eine ausführliche Erklärung, wie man auf die Substitutionen für sin und cos kommt. Das dx ist hoffentlich klar Augenzwinkern

In diesem Posting ist erklärt, wie man auf



und



kommt.

Löst man beide Gleichungen nach auf und setzt gleich, erhält man



Nach aufgelöst ergibt sich



Analog geht die Berechnung für
KleineFreche Auf diesen Beitrag antworten »

darf man sich so einfach mal in diese Aufgabe mit einklicken? denn mich würde es auch mal intressieren wie das geht.

Jedoch habe ich ein allgemeines Verständnisproblem bei der Sache (wir haben es nie mit einer solchen Subsitution gerechnet):

es wurde gesagt, man solle 1/ sinx erstmal in Ruhe lassen und dx substituieren. Ok, es wurde gesagt was das in dz entsprechen würde (wobei mir schleierhaft ist woher das kommt...aber ich nehms mal so hin)...

danach hiess es sinx = ... ich habe mir den anderen Tread durchgelesen und weiss jezt, wie man auf sinx =... kommt. Doch Milkaschokolade hat das jetzt einfach alles hinter das Integral gesetzt und nun hörts bei mir auf..


1. ich dachte wir substituieren, um das Integral mit einem z lösen zu können (und wenn wir das Ergebnis raushaben wieder zu resub.)

2. es ging doch um 1 / sinx ... warum wird dann das von sinx =... eingesetzt und nicht der Kehrwert davon?

3: und wo ist jetzt die Umwandlung von dx zu dz ?? (was ich persönlich einfach nur so ohne Rechnung geändert hätte)

Ihr seht - mir fehlt das allgemeine Verständnis dazu.
Doch ich hoffe irgendjemand versteht meine Fragen dazu und kann mir helfen es zu verstehen.. (hab wirklich schon für 30min den Tread studiert und komm auf nichts).

PS: wenn ich übrigens einen neuen Tread aufmachen soll, dann sagt es bitte. Ich war mir nicht so sicher..
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KleineFreche
2. es ging doch um 1 / sinx ... warum wird dann das von sinx =... eingesetzt und nicht der Kehrwert davon?


Dann setze es doch einfach in den Nenner ein. Man muss da ein bißchen flexibel sein Augenzwinkern

Zitat:
3: und wo ist jetzt die Umwandlung von dx zu dz ?? (was ich persönlich einfach nur so ohne Rechnung geändert hätte)


Nein, du darfst es nicht einfach umbenennen. Es wird substituiert. Du hast also eine Funktion z(x). Um dx zu ersetzen, musst du jetzt z(x) nach x ableiten. Das ergibt



Das kannst du nach dx auflösen und kriegst den Ausdruck, durch den du dx ersetzen musst.

Wenn es um grundsätzliche Fragen zu "Integration per Substitution" geht, darfst du gerne einen neuen Thread aufmachen.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie habe ich hier glaub ich ein generelles Verständnisproblem.

Ihr schreibt man soll setzen. In der Aufgabe ist doch aber gar kein bzw. kein .

Ich kenne die Substitutionsmethode nur so, dass man in dieser Aufgabe z.B. das setzt und dann ist...

Vilt könnt ihr mir einfach mal den ersten Schritt (die Substitution) aufschreiben? Vilt steht die aber auch hier schon irgendwo und ich bin einfach nur zu blöd :-/?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich kannst du alles substituieren was du möchtest. Auch wenn es wie in diesem Fall nicht direkt vorkommt. Lass dich also nicht verwirren.

Die Substitution kannst du umformen zu und . Wie das geht, habe ich vorhin kurz angedeutet.

Außerdem ergibt sich durch die Substitution

Wenn du das ganz konsequent in dein Integral einsetzt, erhälst du



Wenn du das noch ein bißchen kürzt, erhälst du ein sehr einfaches Integral.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Wow... so langsam krieg ich einen kleinen Durchblick :-). Vielen, vielen Dank, konnte die Aufgabe jetzt mit eurer Hilfe lösen.

Nur eins wüsste ich noch gern: Woher weiß man das die richtige Substitution für diese Aufgabe ist?

Gibt es für andere Aufgaben auch solch "richtige" Substitutionen, die man einfach kennen muss??
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