Verteilung von Schülern in Arbeitsgruppen

15.01.2006, 19:02	DaDa	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung von Schülern in Arbeitsgruppen Hallo, morgen schreibe ich Klausur und stehe vor folgender Aufgabe: 15 Schüler sollen in 4 Arbeitsgruppen eingeteilt werden, wobei die erste 3 Schüler beinhaltet und die 3 weiteren jeweils 4. Wie veiele Möglichkeiten gibt es, die Schüler a) ohne weitere Bedingungen b) mit der Bedingung, dass schüler Heinz und Fritz nicht zusammen sein dürfen zu verteilen. Mein Lösungsansatz: a) Ich sehe alle Plätze als unterscheidbar an und verteile dann die 15 Schüler darauf. Das wären 15! Möglichkeiten Anschließend teile ih noch durch die Möglichkeiten, die durch die Permutationen innerhalb der Gruppen zustande kommen. würde dann zu folgendem führen: $\begin{eqnarray} \frac{15!}{3!4!4!4!} \end{eqnarray*}$ Dabei komme ich auf rund 15Mio Möglichkeiten. Etwas viel für meinen Geschmack. b) Ich nehme das Ergebnis von a) und teile nochmal durch 4, welche die Möglichkeiten ausschließen, bei denen Heinz und Fritz zusammen in einer Gruppe sind Was ist nun falsch an meinen Lösungen? Bitte um kompetente und schnelle Hilfe
15.01.2006, 19:09	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) ist deine idee grundlegend richtig, wenn du die arbeitsgruppen unterscheidest, und dann stimmt auch die zahl; ich sehe das aber eigentlich leicht anders wenn du nun acht der schüler schüler; nennen wir sie 1,2,3,4,5,6,7,8; so einteilst: gruppe 2: 1,2,3,4 gruppe 3: 5,6,7,8 liefert das dann eine andere verteilung als: gruppe 2: 5,6,7,8 gruppr 3: 1,2,3,4 ??
15.01.2006, 19:18	DaDa	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, aber in der ursprünglichen aufgabe ging es um Arbeitsstationen, die also unterscheidbar sein müssen. Habe den Aufgabentext unwissentlich abgeändert und dadurch den Sinn leich verändert. Wenn aber alle Gruppen unterscheidbar sein sollen, dann stimmt mein Ergebnis bei Aufgabe a? Wie sieht es denn bei Aufgabe b aus? Ich gehe mal davon aus, dass meine Lösung hier falsch ist, da es mehr oder weniger ins Blaue geschossen ist. Kann mir hier jemand einen denkanstoß geben? Danke nochmal für deine schnelle hilfe
15.01.2006, 20:10	Chrustinho	Auf diesen Beitrag antworten »
vorneweg: Ich bin DaDa Ich habe mir nun nochwas zur Aufgabe b einfallen lassen. Ich geh sozusagen vom Gegenereignis aus. Ich ziehe also alle Möglichkeiten ab, wenn die beiden Schüler zusammen in Gruppe 1, 2, 3 und 4 sind. Dazu meine Rechnung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} +<br /> \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ziehe ich nun von den 15 Mio ab. Ist mein Gedankengang richtig, stimmt das Ergebnis?
15.01.2006, 20:31	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, die idee ist auf jeden fall nicht falsch, aber ohne begründung ist es schwer, deine rechnung nachzuvollziehen ich vermute, dass soll je die anzahl der möglichkeiten darstellen, dass sie in der gleichen gruppe sind....... vermutlich zerlegt in "in der dreiergruppe", "in der vierergruppe 1", "in der...." usf. dann wundere ich mich aber, dass du hinten unterschiedliche summen hast!? nimm doch einfach die anzahl der kombis, dass sie zusammen in 4ergruppe 2 sind mal 3. mfg jochen
15.01.2006, 21:05	Chrustinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Das soll die Summe darstellen, die ich vom Ergebnis aus a) abziehe. Ich könnte wirklich die Möglichkeiten einer 4er-Gruppe * 3 nehmen, das würde die Rechnung vereinfachen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 15765750 - 450450 - 3 * 900900 = 12612600 \end{eqnarray*}$ Ich habe eigentlich ein ganz gutes Gefühl, dass das stimmen kann, nur das hatte ich schon oft und das Ergebnis war trotzdem Murks. Also, ist das Ergebnis eurer Meinung nach richtig?
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15.01.2006, 21:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe jetzt sogar deine reihenfolge scheint zu stimmen (hoffe ich )

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