Hammeraufgabe - Analysis

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anda86 Auf diesen Beitrag antworten »
Hammeraufgabe - Analysis
Hallo, ich bin neu hier im Forum und hab gleich ein dickes Problem. Wir haben eine neue Mathelehrerin nach 2 Monaten Komplettausfall. sie will testen was wir können. und ich steh schon wieder auf dem Schlauch!Villeicht weiß einer von euch weiter:



Für viele Tumorarten kann das Wachstum der Größe eines Tumors durch die folgenden beiden Gleichungen beschrieben werden:

1. d/dt V(t)=r(t)*V(t) und 2. d/dt r(t)=-c*r(t)

t= Zeit mit t kleiner/gleich 0
V(t)=Tumorvolumen nach Ablauf der Zeit t
r(t)= zeitabhängige Wachstumsrate des Tumors
c= positive Konstante
r(0)= b ist die anfängliche Wachstumsrate mit b>0

Aufgabenteil a) Ermitteln Sie Lösungen der Gleichung (2). Zeigen Sie dass V(t)=V(0)*e^[b/c*(1-e^-c*t)] die Gleichung (1) erfüllt.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

und was hast du dir überlegt?

oder woran hängts?
anda86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hammeraufgabe - Analysis
Weder verstehe ich welchen sinn die aufgabenstellung hat noch weis ich einen ansatz. Ermitteln sie Lösungen...
Das ist mir zuhoch verwirrt
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

was bedeutenden denn die zwei gleichungen 1. und 2.

weisst du wie du mit dem differentialopperator umgehen musst?
was für schlussfolgerungen kannst du aus den gleichungen ziehen ?


zum aufgabenteil "zeigen sie das ... die gleichung erfüllt"
einfach einsetzten.

servus
anda86 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, weis gar nicht was ein differentialopperator ist?

Was kann ich denn einsetzten werte habe ich nicht
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ist die erste ableitung f'(x)
wäre die zweite ableitung f''(x)

des d/dx ... bezeichnet man dabei als den differentialoperator.

also wäre für die erste gleichung V'(t)=r(t)*V(t) und für die zweite gleichung r'(t)=-c*r(t)

was sagt dir das über die funktionen V(t) bzw r(t) ?
 
 
anda86 Auf diesen Beitrag antworten »

lediglich dass es ableitungen sind aber wie kann ich das mit der aufgabe verbinden.

r(t) in v(t) einsetzten?
as_string Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

So was wie da steht nennt man Differentialgleichungen. Immer wenn eine Funktion und deren Ableitung gleichzeitig in einer Gleichung vorkommen ist das so was.
Es gibt jetzt viele verschiedene Verfahren, um so was zu lösen. Allerdings funktionieren alle diese Verfahren nicht bei allen Differenzialgleichungen. Viele sind auch bis jetzt unlösbar oder nur mit einem Computer numerisch lösbar.
Die Gleichung 2 ist aber so ziemlich die einfachste DG, die es gibt. Überlege Dir einfach mal, wie die Ableitungen einer e-Funktion aussehen:

ist ein allgemeiner Ansatz für das Lösen einer solchen "linearen Differenzialgleichung erster Ordnung", wobei A und B erstmal irgendwelche Konstanten sind, wie man aber (zum Teil) mit der DG bestimmen kann. Wenn Du die Ableitung von diesem ANsatz ausrechnest bekommst Du:

Bei Ableitungen nach der Zeit (t) macht man normalerweise keinen ' an die Ableitung sondern einen Punkt drüber, aber das ist nur Konvention. Der Strich bedeutet normalerweise Ableitung nach dem Ort (x). Das kommt aber auch eher aus der Physik.
Jetzt kannst Du beides in die Gleichung (2) einsetzen und es steht da:

Also siehst Du, dass mit einer richtigen Wahl von der Konstante B die Gleichung mit diesem Ansatz erfüllt werden kann. Deine Lösung für die DG ist also:

Das kannst Du jetzt wieder verwenden und in die Gleichung (1) einsetzen. Dann wird aus dieser:

So, jetzt ist für diese neue, deutlich kompliziertere DG (die ist nämlich nicht mehr linear) zum Glück schon ein Ansatz gegeben, den Du nur nochmal überprüfen sollst. Das machst Du wieder (wie oben) indem Du von dem Ansatz die Ableitung bildest und in die Gleichung Funktion selber und Ableitung von V an den richtigen Stellen einsetzt. Das darfst Du jetzt aber mal selber probieren Zunge Ich muß nämlich jetzt Schläfer ! Viel Spaß dabei!

Gruß
Marco
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Steht jetzt zwar im falschen thread, bitte aber darum das hier zu lassen:

könnt ihr ein Buch zu diesem Thema empfehlen???
as_string Auf diesen Beitrag antworten »

@speedyschmitt:
Ich verstehe Dienen Post absolut gar nicht! Was genau ist Dein Begehr? Du fragst nach Büchern über Differentialgleichungen?
Könnteste das vielleicht nochmal so formulieren, dass sogar ich verstehe, was Du meinst?
Danke!

Gruß
Marco

Edit: Falls ich es doch richtig verstanden habe: Ich nehme für solche Dinge immer mein mathematische Methoden für Physiker Buch. "Mathematical Methods in the Physical Sciences" von Boas.
Ist halt eher für Physiker (wer hätte das gedacht), dreht sich nicht in erster Linie um Differenzialgleichungen und ist auch noch auf englisch, aber mir hat es schon viel geholfen.

nochmal Gruß
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

speedyschmidt mit dt wenn ich bitten darf Big Laugh

ich hab meine Frage dazu in das Teilforum Bücher gestellt.

kannst da ja reinschreiben.

Es geht mir jedoch nicht vorrangig um die Mathematik für die Physik
rolln Auf diesen Beitrag antworten »

hey hab die gleiche Aufgabe, allerdings geht mein Teil noch weiter: Ermitteln Sie, welche Eigenschaften eine beliebige Funktion V in Abhängigkeit von b und c hat.

Habt ihr ne Ahnung???

hab kp
rolln Auf diesen Beitrag antworten »

ahso, daszu sollten Erkenntnisse genutzt werden, die bei eienr Untersuchung der speziellen Funktion

V(0) = 5; b = 1 und c = 4/5 gewonnen wurden. Die Unterswuchung habe ich gemacht und dabei gabs keine probs...


Df = 0 bis unendlich

lim t gegen 0 geht gegen 5

lim t gegen unendlich geht gegen gerundet 18

hab ich da z.b. raus. aber das ist ja eig. nicht meien frage, sondern halt der obrige post verwirrt
roulln Auf diesen Beitrag antworten »

untergegangen`? traurig
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