Pyramide mit Parameter

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svenc Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide mit Parameter
Schönen Sonntag abend zusammen. Könnt ihr helfen?


Gegeben ist die Pyramitde mit der Spitze S(0/0/6) und der Grundfläche A'(6/0/0), B'(0/6/0) und C'(0/0/0).

Die Ebene, die durch die Punkte A(5/0/1), B(0/4/2) und C(0/0/t) geht (t zwischen 0 und 6), teilt die Pyramide in zwei Körper. Bestimmen Sie den Parameter so, dass das Volumen dieser zwei Körper gleich groß ist.
(Hinweis: Die Punkte A,B,C liegen auf den Seitenflächen der obrigen Pyramide SA'B'C' und bilden mit A,C,B,S wieder eine neue Pyramide)

Wie muss t gewählt werden, damit die Pyramide A'B'C' S in zwei gleichgroße Körper zerschitten werden?

(Bayern V 2003)
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

würde gerne mit folgendem Weg zum Ziel kommen.

In der Schule haben wir gelernt, dass für das Volumen einer Pyramide giilt, dass man sich 3 aufspannende Vektoren raussucht. Danach kreuzt man zwei dieser Vektoren, multipliziert das Ergebnis mit dem dritten. Danach das ganze noch mit 1/6 multiplizieren. Frage nebenbei, warum gilt die Formel?

Mit dem Ansatz hab ich dann:

Vektor AS = (-5 / 0 /5)

Vektor AB = (-5/4/1)

Vektor AC = (-5/0/t-1)

AS gekreuzt AB = (20/20/20)

(20/20/20) * (-5/0/t-1) = -100 + 20t - 20 * (1/6)

Das Volumen der Pyramide, die durch die Ebene in der Hauptpyramide A'B'C' S entsteht, brechnet sich also zu V= -100 + 20t - 20 * (1/6)


Die Hauptpyramide hat das Volumen 36. Also muss

-100 + 20t - 20 * (1/6) = 18 gelten (damit zwei gleich große Körper entstehen) --> t= 11,4

wo steckt der fehler, 11,4 kann ja schlecht sein...

danke

sven!
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Rechenweg hab ich jetzt nicht nachvollzogen; wenn ich die letzte Gleichung auflöse, komme ich aber auf ein anderes t.

Grüße Abakus smile


EDIT: Das Volumen kriegst du auch mit der Formel . Dabei ist G die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide.
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

hi, danke sehr !

meinte auch

[ -100 + 20t - 20 ] * (1/6) = 18

dann stimmt mein weg, ja???

mit der formel von dir ist aes aber sehr kompliziert. da muss man erst noch abstand punkt - ebene verwenden, um an h zu kommen.....
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Jesses, das mit der Höhe war ja völliger Mist.
Weil die Grundflächen nicht parallel sind war auch der Streckansatz
für die Höhe falsch.

deshalb Beitragteil ganz gelöscht. 16.01.06 02h47



Edit,
das mit dem 'Falsch' war etwas vorschnell, hatte mich darauf
verlassen dass A,B,C auf den Seitenflächen und nicht auf den
Seitenlinien liegen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

@ svenc: Der Rechenweg stimmt. Nur musst du beachten, ob die 3 Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden und dass du letztendlich mit einem positiven Volumen rechnest. Wenn du beim Kreuzprodukt die Vektoren vertauscht, ergibt sich das umgekehrte Vorzeichen.

Grüße Abakus smile


EDIT (gerechnet): Wenn ich deine Formel für das Volumen hinschreibe, komme ich auf:



Dann ist

Und das sieht eigentlich schon gut aus? Das gesuchte t lässt sich leicht ausrechnen.
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

danke an alle!!!



svenc: Der Rechenweg stimmt. Nur musst du beachten, ob die 3 Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden und dass du letztendlich mit einem positiven Volumen rechnest. Wenn du beim Kreuzprodukt die Vektoren vertauscht, ergibt sich das umgekehrte Vorzeichen.

genau das habe ich bemerkt, bevor ich hier jetzt nochmal reingeschaut habe Augenzwinkern wennn ich AS X AB rechne geht alles auf. Rechne ich aber AB X AS(s.o.) klappt es nicht. Leider verstehe ich das insgesammt troz deiner Erklärung nicht. Kannst du das vielleicht genauer erläutern?



danke nochmals!!!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

es stimmt eh alles, aber irgendwo steht da der betrag (wegen der reihenfolge beim vektorprodukt)!!!
du hast also 2 möglichkeiten:

und (leider) hast du zuerst die falsche erwischt.
werner
aber (nur) aus fehlern lernt man
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Werner, danke für die Antwort.


Ich verstehe es aber noch nicht so genau, in der Schule haben wir gelernt, man kann die Reihenfolgen beliebig vertauschen, es kommt immer das gleiche raus. Warum ist das denn nicht so?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

na das stimmt schon, der betrag ist immer gleich, aber du weißt ja, dass man die reihenfolge bei der vektormultiplikation beachten muß.( darum steht auch das betragszeichen da beim volumen). c = a x b, da zeigt c bei der üblichen festlegung nach oben, und bei c = b x a = - c nach unten, und damit hat das volumen (formal) nicht nur eine größe, sondern auch eine richtung, also ein vorzeichen, ganz analog dazu, wenn du den abstand eines punktes zu einer ebene bestimmst, je nachdem auf welcher seite der ebene er liegt (bezogen auf O).
naja, das ist sowieso ein eigenes kapitel
vielleicht hilft uns da ja leopold oder arthur, die formulieren das viel besser und exakter.
halt immer im auge behalten: VORZEICHEN bei allen formeln, wo der betrag mitspielt.
werner
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von svenc
genau das habe ich bemerkt, bevor ich hier jetzt nochmal reingeschaut habe Augenzwinkern wennn ich AS X AB rechne geht alles auf. Rechne ich aber AB X AS(s.o.) klappt es nicht. Leider verstehe ich das insgesammt troz deiner Erklärung nicht. Kannst du das vielleicht genauer erläutern?


Es gilt folgende Regel für das Kreuzprodukt: (vergl. Rechte-Hand-Regel).

Das Spatprodukt - was du letztendlich ausgerechnet hast - ist demnach gleich der positiven oder negativen Maßzahl des Spatvolumens, je nachdem , ob ein Rechts- oder Linkssystem bilden.

Das Volumen ist also der Betrag des Spatproduktes, das Vorzeichen gibt dir die Orientierung des verwendeten Vektorensystems an. Hier war bei der weiteren Rechnung das (positive) Volumen zu verwenden.

Grüße Abakus smile

**Werner hat es schon erklärt**
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine anmerkung dazu: das problem kommt daher, dass du (vermutlich) volumen 1 "konventionell" berechnet und eben bei volumen 2 nicht auf die reihenfolge der vektoroperationen und damit das vorzeichen geachtet hast.
wenn man V1 auch mit dem spatprodukt berechnet , und zwar genau in der von dir angegebenen reihenfolge, hast du V = 1/6*(-6)*(-36)=36
und bei V2 ergibt sich (unter beachtung des VZ) V2 = 1/6*(-20)*(-6 + t), woraus folgt t = 5/3.
gott sei dank
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Problem dürfte doch garnicht existieren sofern die Volumenformel
richtig umgesetzt wird. Dh. beim Volumen mit dem Parameter t
muss beachtet werden, dass (*) das Ergebnis des
Vektorprodukts mit dem Skalarprodukt absolut zu nehmen ist.

Das richtige t müsste sich dann zwangsläufig ergeben gleich
welche Vektorenorientierung angesetzt wurde. (verkompliziert
das aber)


(lol, ich sehe eben erst t = 11.4 war ja völlig unmöglich da 0<t<6)


Edit
nein, nicht das richtige t müsste sich zwangsläufig ergeben, sondern
derer Zweie von denen nur das eine zulässig ist.
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön für die Antoworten, an alle!!!!

habt ihr denn vielleicht irgendeinen Tipp, wie man ohne groß den Betrag nehmen zu müssen direkt auf das richtige Ergebnis kommt. D.h. kann man vielleicht irgendwie sehen welche Vektoren nun genau gekreuz werden müssen usw???

Ansonsten schreib ich einfach +/- 18, rechne also 2 Werte für t aus und habe zwei gültige Lösungen (von denen evtl. eine aufgrund des Definitionsbereiches, wie hier, ausgeschlossen werden kann)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von svenc

Ansonsten schreib ich einfach +/- 18, rechne also 2 Werte für t aus und habe zwei gültige Lösungen (von denen evtl. eine aufgrund des Definitionsbereiches, wie hier, ausgeschlossen werden kann)


genau!
werner
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

hi, danke. das ist schonm al sehr gut, da es dann doch recht einfach ist.

ist das das gleiche wie


(1/6)|(AS x AB)*AC| = 18

?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von svenc
hi, danke. das ist schonm al sehr gut, da es dann doch recht einfach ist.

ist das das gleiche wie


(1/6)|(AS x AB)*AC| = 18

?


nicht ganz
(1/6)|(AS x AB)*AC| = 18 und (1/6)|(AS x AB)*AC| = -18
werner
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

dachte das eher so:

(1/6)|(AS x AB)*AC| = 18

(1/6)|100 - 20 t + 20| = 18


(1/6)*(100 - 20 t + 20) = 18

oder (1/6)*(-1) (100 - 20 t + 20) = 18 woraus ja folgt
(1/6)* (100 - 20 t + 20) = -18

hab ich den Betrag so richtig aufgelöst?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

denke, das paßt
werner
svenc Auf diesen Beitrag antworten »

dann möchte ich mich abschließend noch mal recht herzlich bedanken. Ihr habt mir viel weitergeholfen.

Schönen abend noch,

sven
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