Umwandlung des cos in die komplexe e-Funktion

15.01.2006, 21:05

Bobo

Umwandlung des cos in die komplexe e-Funktion

Wenn
I. $\begin{eqnarray*} f(x)= A_0 + A_1 cos( \omega t + \varphi_1) + A_2 cos(2 \omega t + \varphi_2) + A_3 cos(3 \omega t + \varphi_3) + A_4 cos(4 \omega t + \varphi_4) + ... = \sum_{n=0}^{\infty}~A_n cos(n \omega t + \varphi_n) \end{eqnarray*}$
und
II. $\begin{eqnarray*} cos \varphi = \frac 1 2 (e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}) \end{eqnarray*}$
kann dann sein:
III. $\begin{eqnarray*} f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} A_n (e^{in \omega t + \varphi_n}+e^{-in \omega t + \varphi_n}) \end{eqnarray*}$
Wo ist das $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ aus II. hin ? Liegt es daran, dass man, wenn man die Amplitude bzw. die Phasenlage der n-ten Schwingungen ausrechnet, nur die des positive n hernimmt statt die Amplitude bzw. die Phasenlage von n und -n herzunehmen? Dann stimmt das = aber nicht. Den $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ -Faktor dürfte man doch erst bei der Amplitudenberechnung gegenrechnen.

Das Ganze steht übrigens in Gerthsen Physik.

16.01.2006, 08:52

klarsoweit

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RE: Umwandlung des cos in die komlexe e-Funktion

Zitat:

Original von Bobo
I. $\begin{eqnarray*} f(x)= A_0 + A_1 cos( \omega t + \varphi_1) + A_2 cos(2 \omega t + \varphi_2) + A_3 cos(3 \omega t + \varphi_3) + A_4 cos(4 \omega t + \varphi_4) + ... = \sum_{n=0}^{\infty}~A_n cos(n \omega t + \varphi_n) \end{eqnarray*}$

Müsste das nicht heißen
$\begin{eqnarray*} f(x)= ... = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}~A_n cos(n \omega t + \varphi_n) \end{eqnarray*}$ ?
Auf welcher Seite im Gerthsen steht das?

16.01.2006, 11:08

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Zitat:

Original von Bobo
III. $\begin{eqnarray*} f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} A_n (e^{in \omega t + \varphi_n}+e^{-in \omega t + \varphi_n}) \end{eqnarray*}$

Das stimmt gleich in mehrerlei Hinsicht nicht mit dem obigen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überein: Indexbereich für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , vergessene Klammern, fehlender Vorfaktor. Es ist auch nicht so, dass sich mehrere dieser Fehler kompensieren (z.B. Vorfaktor und Indexbereich).

Gesetzt den Fall, dass dein erster Term für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zutrifft, müsste das eher so lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} A_n (e^{i(n \omega t + \varphi_n)}+e^{-i(n \omega t + \varphi_n)}) \end{eqnarray*}$

22.01.2006, 15:18

Bobo

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Gerthsen Physik 22.Auflage
S.146 (4.3) und s.147 (4.4)

Die fehlenden Klammern waren mein Fehler, aber der Vorfaktor fehlt.

@klarsoweit: Die Darstellingen sind äquivalent, da man für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_0=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ erhält.

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