Integration mit 2 Variablen

15.01.2006, 21:28

aerus

Integration mit 2 Variablen

Hallo, ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion. Sie schließt mit der x- Achse und den Geraden
x_1=-sqrt(-1/t) und x_2=k mit k<0 eine Fläche ein. Ich soll den Flächeninhalt berechnen für k -> minus unendlich.

Die Stammfunktion habe ich schon:

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=(tx^2-2tx+2t+1)e^{x+t} \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun weiter?

15.01.2006, 21:48

Mathespezialschüler

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15.01.2006, 22:00

Passepartout

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RE: Integration mit 2 Variablen

Zitat:

Original von aerus

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=(tx^2-2tx+2t+1)e^{x+t} \end{eqnarray*}$

Hallo,

stelle zunächst das Integral über x auf und behandle beim Integrationsvorgang das t wie jede andere Konstante (zum Beispiel eine Zahl)

Hoffe, dass hilft Dir schon Wink

,
Michael

15.01.2006, 22:24

aerus

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ok, das könnte ich noch hinkriegen, aber was mache ich mit k? Und wie sieht am Ende die Fläche aus?

16.01.2006, 09:13

brunsi

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was hast du denn schon bei deiner rechnung herausbekommen? wie sieht dein ansatz aus??

16.01.2006, 11:17

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@aerus

Gut, so wie ich das verstehe, war die ursprüngliche (von dir nicht genannte) Funktion

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = (tx^2+1)e^{x+t} \end{eqnarray*}$

gegeben, mit der negativen Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_1 = -\sqrt{-\frac{1}{t}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ irgendein negativer reeller Parameter sein soll. Und jetzt sollst du

$\begin{eqnarray*} A = \lim\limits_{k\to-\infty} ~ \int\limits_{k}^{x_1} ~ f_t(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

berechnen. Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hast du bereits bestimmt, nämlich $\begin{eqnarray*} F_t(x) \end{eqnarray*}$ , richtig! Dann kannst du doch ganz einfach weiter machen:

$\begin{eqnarray*} A = \lim\limits_{k\to-\infty} ~ \left( F_t(x_1)-F_t(k) \right) \end{eqnarray*}$

Wo ist das Problem?

16.01.2006, 16:05

aerus

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@ Arthur Dent,

danke erstmal für die ausführliche Erklärung. Mein Problem liegt in der Berechnung von $\begin{eqnarray*} F_t(k) \end{eqnarray*}$

erwartet man hier ein richtiges Ergebnis, oder reicht die Angabe, dass von $\begin{eqnarray*} F_t(x_1) \end{eqnarray*}$ eine minus unendlich große Zahl substrahiert wird?

16.01.2006, 17:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von aerus
Mein Problem liegt in der Berechnung von $\begin{eqnarray*} F_t(k) \end{eqnarray*}$

erwartet man hier ein richtiges Ergebnis, oder reicht die Angabe, dass von $\begin{eqnarray*} F_t(x_1) \end{eqnarray*}$ eine minus unendlich große Zahl substrahiert wird?

Setz doch mal k in deine Stammfunktion ein. Bist du sicher, daß F_t(k) für k gegen minus unendlich divergiert?

16.01.2006, 18:50

aerus

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bist du sicher, daß F_t(k) für k gegen minus unendlich divergiert?

so steht's in der Aufgabenstellung.

16.01.2006, 18:54

klarsoweit

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RE: Integration mit 2 Variablen
Da hilft nichts. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to {- \infty}} F_t(x)=(tx^2-2tx+2t+1)e^{x+t} = 0 \end{eqnarray*}$

16.01.2006, 19:21

aerus

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ok, dann habe ich als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A=\lim_{k \to -\infty} (t-2t(-\sqrt{-\frac{1}{t}} )+1) e^{-\sqrt{-\frac{1}{t}}+t} - F_t(k) \end{eqnarray*}$

hoffe, dass es stimmt.

Was ich noch nicht verstehe ist wie man, bei solchen exponentialen Scharenfunktionen das Verhalten bestimmt.

Wie ist es zum Beipsiel hier:

16.01.2006, 19:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von aerus
$\begin{eqnarray*} A=\lim_{k \to -\infty} (t-2t(-\sqrt{-\frac{1}{t}} )+1) e^{-\sqrt{-\frac{1}{t}}+t} - F_t(k) \end{eqnarray*}$

Ohne jetzt zu prüfen, ob die Herleitung stimmt. Aber der Limes bezieht sich auch auf das F_t(k), und der ist, wie schon erwähnt = Null.
Also muß es heißen:
$\begin{eqnarray*} A=\lim_{k \to -\infty} ((t-2t(-\sqrt{-\frac{1}{t}} )+1) e^{-\sqrt{-\frac{1}{t}}+t} - F_t(k) ) = t-2t(-\sqrt{-\frac{1}{t}} )+1) e^{-\sqrt{-\frac{1}{t}}+t} \end{eqnarray*}$

Du kannst ja mal für t ein paar Werte einsetzen und dir die Funktion mit dem Funktionenplotter anschauen.

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