Funktionsanalyse

15.01.2006, 23:49

SIMA

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Funktionsanalyse

Hallo Leute,

muss eine Funktion untersuchen.Normalerweise ist das kein Thema für mich, aber eine Funktion bezüglich arctan kann ich nicht.gibt das da eine besondere regel zB wie ich ableite etc??

Das ist meine Funktion $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{x^{2} -1}{2x^{2} +1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was muss ich bei arctan funktionen beachten???oder soll ich z.B. nach Quotientenregelableiten??

ist bei allen arctanfunktionen der definitionsbreich gleich?

15.01.2006, 23:52

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Bis jetzt sehe ich nur eine Klammer und einen Term, weder einen $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ geschweige denn z.B. ein eine Funktion kennzeichnendes $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.01.2006, 00:00

SIMA

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tutu mir leid genau da fehlt f(x)=arctan und dann die funktion habe einige probleme mit dem formeleditor.bitte um entschuldigung

16.01.2006, 00:06

Mathespezialschüler

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Meinst du

$\begin{eqnarray*} f(x)=\arctan\frac{x^2-1}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$ ?

Was genau sollst du denn herausfinden?

Gruß MSS

16.01.2006, 00:06

Lazarus

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also hast du die funktion $\begin{eqnarray*} f(x) :=\arctan{\left(\frac{x^{2} -1}{2x^{2} +1} \right)} \end{eqnarray*}$

abgeleitet wird nach kettenregel und dann qoutientenregel. dann noch ein bisschen vereinfachen und gut is.
\\edit: wenn du nichts über arctan weisst, sei dir eine studie dieses artikels empfohlen:
hier

16.01.2006, 00:12

SIMA

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als wenn ich es ableite nach ketten regel, d.h. äußere mal innere Ableitung.soweit okay...aber wie leite ich arctan ab?ist arctan=arctan x dasselbe

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16.01.2006, 00:15

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \arctan'{x}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

in dem fall hier nachdifferenzieren aber nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2006, 00:18

Friedrich

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Also im Link zu Wikipedia, ist eine Ableitungsfkt. angegeben.

Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} arctan = tan^{-1} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} arctan' = (tan^{-1})' \end{eqnarray*}$ (korriegiert mich bitte, wenn ich hier falsch liege)
und letzteres kann man ja allg. ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2006, 00:24

Lazarus

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wenn man denn die formel $\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)} \end{eqnarray*}$ kennt natürlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2006, 00:27

SIMA

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dann ist doch meine äußere ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} -1}{2x^{2} +1} \end{eqnarray*}$ nach kettenregel

16.01.2006, 00:37

Lazarus

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nein

das x (von da oben) ist ja hier der ganze bruch...

16.01.2006, 00:40

SIMA

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ah du meinst ich soll für x den ganzen bruch in der klammer einsetzen??

16.01.2006, 00:44

Lazarus

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wirst du wohl müssen .. und nachdifferenzieren nicht vergessen

16.01.2006, 00:45

SIMA

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was meins du mit nachdifferenzieren?

16.01.2006, 00:49

Lazarus

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\\edit: ach quatsch... hab mich da verschaut.

sorry nehms zurück

16.01.2006, 00:55

SIMA

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ja ableiten!!!aber warum das denn?wobei hast du dich vertan?

16.01.2006, 01:04

Lazarus

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hab mich verschaut, zu so später stunde kommt sowas leider gehäuft vor.

also vorgehen ist folgendes:
ich ersetzt mal den term im argument von arc durch u, der einfachheit halber.

also:
$\begin{eqnarray*} f(u)&=&\arctan{u} \\ f'(u)&=&\frac{1}{1+u^2} \cdot u' \end{eqnarray*}$

\\edit und für u' brauchst du dann die qoutientenregel

16.01.2006, 23:55

SIMA

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Ist das so richtig?

f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\frac{x^{2}-1 }{2x^{2} +1} )^{2}} \end{eqnarray*}$ *2x(2x^2+1)-(x^2-1)*4x

das ist die gewünschte Ableitung??

wie ist denn eigentlich mein definitionsbereich für f(x) definiert??muss ich da einfach den nenner gleich null setzen?und gucken welche zahlen null ergeben ??etc.

17.01.2006, 13:09

Friedrich

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Die Ableitung ist falsch. Quotientenregel ist allg. mit den Funktionen u und v:
$\begin{eqnarray*} (\frac{u}{v} ) ' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

18.01.2006, 12:27

SIMA

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ah ja stimmt muss nur noch bei der quotientenregel v^2 dazu ergänzen stimmt??

18.01.2006, 23:15

SIMA

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ist das denn so richtig

19.01.2006, 12:30

Friedrich

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Zitat:

Original von SIMA
ist das denn so richtig

was? ich seh da keinen Term! verwirrt

verwirrt

19.01.2006, 15:03

Ace Piet

Auf diesen Beitrag antworten »

@Lazarus

Wie Friedrich sagt, ist arctan = tan^(-1). Diese "Minus Eins" bedeutet aber hier NICHT "1 durch irgendwas", sondern dass arctan die Umkehrfunktion von tan ist.

Bsp.: y= arctan(x) <=> x = tan(y)

Beide Seiten nach Kettenregel...
1 = y' * tan'(y),

benötigen noch eine Nebenrechnung: tan = sin/ cos
=> tan' = (cos^2 + sin^2) / cos^2
= 1 + tan^2,
womit (s.o.) 1 = y' * (1 + tan^2(y)) = y' * (1 + x^2).

Damit: y' = 1 / (1 + x^2)

---snip

Nun zur Aufgabe: y= arctan(z) mit z= (x^2 -1)/(2* x^2 +1) = u/v

Hier ist...

y' = [1 / (1 + z^2)] * z' (nach Kettenregel)

Für z:= u/v kommt jetzt die QuotRegel zum Einsatz...

y' = [1 / (1 + (u/v)^2)] * [u'v - uv'] / v^2
= [u'v - uv'] / [u^2 + v^2]

und man setzt jetzt wieder ein u= x^2-1 und v= 2*x^2+1
und erhält

y' = 6x / [5*x^4 +2*x^2 +2] <--- editiert s. Friedrich

womit die Aufgabe ein gutes(?) Ende genommen hat...
_________

[1] http://www.matheboard.de/report.php?postid=248235

edit.:

u² = x^4 - 2* x² +1
v² = 4*x^4 + 4* x^2 +2

u² + v² = ..+ 2* x².. (yup + Danke an Friedrich)

19.01.2006, 15:41

Friedrich

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@AcePiet
bitte benutze Latex, damit man die Brüche und exponenten besser nachvollziehen kann.

In der Tat lässt das Produkt start vereinfachen, wenn man denn es endlich richtig hingeschrieben hat (was sima noch nicht geschafft hat).

Allerdings komme ich nicht auf +6x² sondern auf 2x² im Nenner.

19.01.2006, 15:57

Ace Piet

Auf diesen Beitrag antworten »

> Allerdings komme ich nicht auf +6x² sondern auf 2x² im Nenner.
Womit Du Recht hast.

> bitte benutze Latex...
Womit Du auch Recht hast. ;-)
Jetzt (gleich) am Wochenende werde ich ein paar "Fingerübungen" machen.

19.01.2006, 16:38

Lazarus

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Zitat:

Original von Ace Piet
@Lazarus

Wie Friedrich sagt, ist arctan = tan^(-1). Diese "Minus Eins" bedeutet aber hier NICHT "1 durch irgendwas", sondern dass arctan die Umkehrfunktion von tan ist.

Bsp.: y= arctan(x) <=> x = tan(y)
[...]

Ich wüsste nicht wo ich das geschrieben hätte !
Bitte zeig mir die Stelle wo ich das Gegenteil behauptet hätte, aber evtl kannst du mir ja eben diese zeigen!

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