allg. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

16.01.2006, 00:56

Friedrich

allg. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Hi,
ich wollte etwas klar stellen, weil mich ein Mathebuch verwirrt hat:

$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ schließt doch $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ nicht aus, oder?

Denn hier steht folgender Stuss:

"Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gilt:
...
2. $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A, B \subseteq\Omega \end{eqnarray*}$
"

Was sagt ihr dazu?

16.01.2006, 00:57

Mathespezialschüler

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Das stimmt, was dort steht. Beachte, dass wenn du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ "zählst", $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ doppelt gezählt wird.

Gruß MSS

16.01.2006, 00:59

JochenX

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RE: allg. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Friedrich
$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ schließt doch $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ nicht aus, oder?

was willst du denn damit sagen? "das schließt das nicht aus"?
kannst du diese aussage näher erläutern?

16.01.2006, 01:08

Friedrich

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das stimmt, was dort steht. Beachte, dass wenn du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ "zählst", $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ doppelt gezählt wird.

Gruß MSS

ich kann leider nicht nachvollziehen was du meinst.

@LOED:

Angenommen wir haben ein Experiment, das die 3 Ereignisse A, B, C hat und ich will die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass A oder B eintritt.

(Ich möchte hier dazu sagen, dass "oder" eigentlich korrekt "und/oder" heißen müsste, denn nur das eine oder andere heißt "exklusives oder")

Also muss ich für P(A oder B) folgendes addieren
P(A) + P(B) + P(A und B), denn alle 3 Fälle erfüllen die Bedingung, dass wenigstens eins von beiden Ereignissen eingetreten ist.

16.01.2006, 01:11

Lazarus

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der fall $\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$ stimmt nur wenn A und B disjunkt sind.

falls sie sich überschneiden sollten würden diese teile doppelt gezählt, einmal bei P(A) und nochmal bei P(B).

um das zu vermeiden zieht man den teil, der sich überschneidet wieder einmal ab.
also $\begin{eqnarray*} -P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

\\edit: zu deinem beispiel:
wenn A und B disjunkt sind, mag das stimmen (da dann A und B nicht möglich ist, also P(A und B) = 0 ist.)

man könnte auch sagen $\begin{eqnarray*} P(A \cup B)= P(A)+P(B \setminus A) \end{eqnarray*}$ dann schliest man auch den fall aus, das A und B sich überschneiden.

16.01.2006, 11:02

PrototypeX29A

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Mal nen anschauliches Beispiel:

Du ziehst eine Karte aus einem 52 Blatt Pokerspiel und gewinnst bei Kreuz oder Ass.

P("Kreuz") = 13/52 und P("As") = 4/52.

Wenn du jetzt alle Kreuzkarten und alle As-karte zusammenzaehlst kommst du auf 13+4=17.
Jedoch sind es insgesamt nur 16 der 52 Karten mit denen du gewinnst, weil du das Kreuz As doppelt so oft gezaehlt hast (einmal als Kreuz und einmal als As). Deswegen steht in der Formel drin, dass die 'doppelten' wiede abgezogen werden.

P("Kreuz oder As") = P("Kreuz") + P("As") - P("Kreuz As").

16.01.2006, 11:47

bil

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hi....
man kann sich das auch einfach aufzeichnen, dann wirds auch klar..
schau dir mal die bilder an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinl...rie#Folgerungen

gruss bil

16.01.2006, 12:23

Friedrich

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hm es leuchtet ein, danke! Freude

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