zweidimensionaler zufälliger Vektor

16.01.2006, 09:21

Pete1984

zweidimensionaler zufälliger Vektor

Folgendes Problem:

Gegeben ist ein zweidimensionaler zufälliger Vektor (X,Y) mit der Wahrscheinlichkeitsdichte:
$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(t_1,t_2)=\frac{1}{16\pi} e^{(-0.5*(\frac{(t_1-3)^2}{4}+\frac{(t_2-2)^2}{16})} \end{eqnarray*}$

Muss ich nun um die einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichten $\begin{eqnarray*} f_X, f_Y \end{eqnarray*}$ zu erhalten die obige Dichte nicht einfach über das Integral von - unendlich bis + unendlich integrieren?

Also:
$\begin{eqnarray*} f_X(x)= \int_{-\infty}^{\infty}~f_{X,Y}(t_1,t_2)~dt_2 \end{eqnarray*}$

???

da bin ich mir nicht sicher, weil das zu resultierende $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ eine riesiger Term ist, den man eigentlich niemand so zumuten kann?
oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?

16.01.2006, 11:04

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Zitat:

Original von Pete1984
da bin ich mir nicht sicher, weil das zu resultierende $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ eine riesiger Term ist, den man eigentlich niemand so zumuten kann?

Nach Vereinfachung ist der Term für $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ kleiner als dein Term für $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ . Außerdem weißt du doch, was rauskommen muss, oder?

Wenn man von einem zweidimensionalen normalverteilten Vektor $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ , der zudem wie hier unabhängige Komponenten besitzt, die Randverteilung bzgl. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bildet, kann nur eine Normalverteilung rauskommen. Die Parameter dieser Normalverteilung kann man mit geübtem Auge sofort dem $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ ablesen. Aber du rechne erst mal schön, einmal sollte das schließlich jeder erleiden. smile

16.01.2006, 12:52

Pete1984

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hmmm...meinst du also ich muss um $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ zu erhalten über y integrieren? Also:

$\begin{eqnarray*} f_X(x)= \int_{-\infty}^{\infty}~f_{X,Y}(t_1,t_2)~dy \end{eqnarray*}$

weil mit der Integration über $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ wird der Term ja wirklich riesig !?
oder hab ich alles falsch verstanden?
Wenn ja, was soll ich "schön rechnen" ?

P.S. ich kenne die LSG nicht

16.01.2006, 13:02

bil

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Zitat:

Original von Pete1984
hmmm...meinst du also ich muss um $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ zu erhalten über y integrieren? Also:

$\begin{eqnarray*} f_X(x)= \int_{-\infty}^{\infty}~f_{X,Y}(t_1,t_2)~dy \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf dy? $\begin{eqnarray*} dt_2 \end{eqnarray*}$ war vorher schon richtig. also ganz richtig wäre es so:

$\begin{eqnarray*} f_X(t_1)= \int_{-\infty}^{\infty}~f_{X,Y}(t_1,t_2)~dt_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

P.S. ich kenne die LSG nicht

die lösung hat arthur doch schon gesagt. es kommt die normalverteilung raus:
(natürlich hast du für die parameter dann konkrete zahlen stehen)
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

gruss bil

05.03.2009, 21:20

cybermarkus

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nitsirk
ich habe ein dringende Frage zum Thema, wollte keinen neuen Fred aufmachen:

habe auch eine Verteilung gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = ... \end{eqnarray*}$ mit unabhängigen Variablen $\begin{eqnarray*} X und Y \end{eqnarray*}$

die Zufallsvariablen sind unabhängig. Jetzt soll ich die Verteilung des Vektors $\begin{eqnarray*} 2X, Y \end{eqnarray*}$ bestimmen und finde leider keinen Ansatz dazu.

Ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ die Verteilung des Vektors $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ ?

Durch die Unabhängig keit sollte man die Randdichte $\begin{eqnarray*} f_{2X} \end{eqnarray*}$ zur Dichte $\begin{eqnarray*} f_{Y} \end{eqnarray*}$ ranmultiplizieren können. Wie komme ich auf die Randdichte von $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ ?

Im Vorraus vielen Tank

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