Fragen zu Integral, Gleichheit und Approximation

16.01.2006, 16:53

MrPSI

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Fragen zu Integral, Gleichheit und Approximation

Hi,
hab ein paar Fragen aus versch. Bereichen.

I. Es gibt ja ein Integralzeichen, das einen Kreis in der Mitte hat. Wie nennt man das und welche Integrationsgrenzen hat es und wozu braucht man es?

II. Was ist der Unterschied zw. dem Gleichheitszeichen und dem Identisch-zeichen. Wieso ist "identisch" nicht dasselbe wie "ist-gleich"?

III. Ich schau mir gerade in meinem Mathebuch das Thema "Approximation von Funktionen mittels Differenzialrechnung" an und bin da auf etwas gestoßen:
"Eine Funktion schmiegt sich umso besser an eine andere Funktion an, umso mehr Ableitungswerte in einem Punkt x0 es mit der anderen Funktion gemeinsam hat."
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f: y=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_1: y=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_3: y=x-\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_5: y=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} \end{eqnarray*}$
Die Feststellung und Erklärung aus dem Buch: Die Funktion g5 schmiegt sich besser an die Sinusfunktion an als g3, und diese wiederum besser als g1, da g5 im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ die meisten Ableitungswerte mit sin(x) gemeinsam hat.
Irgendwie seh ich da den Zusammenhang nicht. Kann mir das bitte jemand näher erklären?

16.01.2006, 17:44

n!

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I. Es handelt sich um ein sogenanntes Ringintegral, was besonders in der Physik zur Anwendung kommt. Das bedeutet nichts anderes, als das über eine geschlossene Kurve integriert wird.
Die Grenzen variieren je nachdem was man zu integrieren hat.

16.01.2006, 17:49

sqrt(2)

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RE: Fragen zu Integral, Gleichheit und Approximation

Zitat:

Original von MrPSI
I. Es gibt ja ein Integralzeichen, das einen Kreis in der Mitte hat. Wie nennt man das und welche Integrationsgrenzen hat es und wozu braucht man es?

Das ist das Zeichen für ein Linienintegral über einen geschlossenen Weg. Solche Integrale haben keine Grenzen, sondern verlaufen über einen festgelegten Integrationsweg (z.B. in der Gaußschen Zahlenebene). Bisher sind ist mir so etwas allerdings nur in der Physik im Zusammenhang mit den Maxwellschen Gleichungen begegnet.

Zitat:

Original von MrPSI
II. Was ist der Unterschied zw. dem Gleichheitszeichen und dem Identisch-zeichen. Wieso ist "identisch" nicht dasselbe wie "ist-gleich"?

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ beschreibt einerseits Kongruenz in der Rechnung mit Modulen: In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 24\equiv3\pmod7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 24\equiv-4\pmod7 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 3\neq-4 \end{eqnarray*}$ . Außerdem wird das Symbol noch für Äquivalenz in der Aussagenlogik verwendet, wo Gleichheitszeichen dafür einfach nicht verwendet werden.

Zitat:

Original von MrPSI
Irgendwie seh ich da den Zusammenhang nicht. Kann mir das bitte jemand näher erklären?

Ich verstehe deine Frage nicht genau. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ stimmen in den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ableitungen mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ überein. Wenn nicht nur die Steigung, sondern auch die Krümmung und die Änderung der Krümmung und die Änderung der Änderung der Krümmung etc. einer Funktion mit einer anderen übereinstimmt, wird die Funktion immer besser approximiert.

16.01.2006, 17:58

Abakus

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RE: Fragen zu Integral, Gleichheit und Approximation

Zitat:

Original von MrPSI
I. Es gibt ja ein Integralzeichen, das einen Kreis in der Mitte hat. Wie nennt man das und welche Integrationsgrenzen hat es und wozu braucht man es?

Also das hier: $\begin{eqnarray*} \oint \end{eqnarray*}$ . Das zeigt ein Integral über eine geschlossene Kurve an. Das Integral heißt demnach ein Kurvenintegral. Integriert wird entlang des Trägers einer Kurve und das kommt in der mehrdimensionalen Integralrechnung vor (Stokescher Integralsatz, Cauchyscher Integralsatz usw.).

Zitat:

II. Was ist der Unterschied zw. dem Gleichheitszeichen und dem Identisch-zeichen. Wieso ist "identisch" nicht dasselbe wie "ist-gleich"?

Das "=" bedeutet, dass auf beiden Seiten dasselbe Objekt steht. Mit "identisch" meinst du vermutlich das hier: $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ . Das könnte zB für Funktionen $\begin{eqnarray*} f, g \mbox{ mit } f \equiv_M g \end{eqnarray*}$ bedeuten, dass f und g auf der Menge M dieselben Funktionswerte haben, aber dass f und g dennoch nicht identisch sind (zB weil sie außerhalb von M unterschiedlich definiert sind). Im anderen Zusammenhang ist die Bedeutung auch "kongruent zu" (modulo-Rechnen).

Zitat:

III. Ich schau mir gerade in meinem Mathebuch das Thema "Approximation von Funktionen mittels Differenzialrechnung" an und bin da auf etwas gestoßen:
"Eine Funktion schmiegt sich umso besser an eine andere Funktion an, umso mehr Ableitungswerte in einem Punkt x0 es mit der anderen Funktion gemeinsam hat."
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f: y=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_1: y=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_3: y=x-\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_5: y=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} \end{eqnarray*}$
Die Feststellung und Erklärung aus dem Buch: Die Funktion g5 schmiegt sich besser an die Sinusfunktion an als g3, und diese wiederum besser als g1, da g5 im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ die meisten Ableitungswerte mit sin(x) gemeinsam hat.
Irgendwie seh ich da den Zusammenhang nicht. Kann mir das bitte jemand näher erklären?

Wenn bei f und g der Funktionswert bei x übereinstimmt, haben sie in x nicht unbedingt dieselbe Steigung. Dieselbe Steigung haben sie erst, wenn die erste Ableitung in x übereinstimmt. Dann können sie in x aber verschieden gekrümmt sein. Stimmt die zweite Ableitung überein, haben sie auch dieselbe Krümmung.

Je mehr Ableitungen in x übereinstimmen, desto besser passen sich f und g in einer Umgebung von x einander an. Das lässt sich aus der Taylor-Formel/Reihe ersehen (-> Bordsuche).
Allerdings gilt dieses Verhalten nur für solche Funktionen, die genügend "gutartig" sind (was bei Polynomen und dem Sinus zB der Fall ist).
Stichwort hier: analytische Funktionen, Analytizität (-> Bordsuche)

Grüße Abakus smile

smile

16.01.2006, 19:08

MrPSI

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Danke, ich glaube es jetzt verstanden zu haben. smile

smile

Falls sich der Glauben in Luft auflöst, meld ich mich wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2006, 22:33

MrPSI

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Mir ist wieder eine Frage in den Sinn gekommen.

Zitat:

Je mehr Ableitungen in x übereinstimmen, desto besser passen sich f und g in einer Umgebung von x einander an.

Das war so das Resumé eurer Erklärungen. In dem Beispiel, das ich anfangs gegeben habe, war x=0 und wenn man jetzt ein Polynom n-ten Grades hat, wobei n gegen Unendlich strebt, und die Ableitungswerte des Polynoms mit den Ableitungswerten der anderen Funktion immer übereinstimmen, so passt sich die Polynomfunktion an die andere Funktion in einer Umgebung von 0 unendlich gut an. Das habe ich auch verstanden.
Aber wieso passt sich die Polynomfunktion exakt an die gesamte andere Funktion an und nicht nur in einem Bereich um 0 herum?
Wieso passt sich anhand der Ableitungswerte eines Punktes die gesamte Polynomfunktion an die andere Funktion an?

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17.01.2006, 22:49

Lazarus

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das ist nicht zwingend so, das sich eine ganze funktion durch eine tayler-reihe beschreiben lässt.

beispiele:
ln(x+1) oder 1/(x+1) haben jeweils nur einen konvergenz radius von 1

17.01.2006, 22:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrPSI
Aber wieso passt sich die Polynomfunktion exakt an die gesamte andere Funktion an und nicht nur in einem Bereich um 0 herum?

Das ist gar nicht immer so, sondern nur, wenn der Konvergenzradius unendlich ist.

18.01.2006, 13:34

MrPSI

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Das ist das erste Mal, das ich mit Potenzreihen und dem Konvergenzradius zu tun habe.
Gibts irgendwelche Seiten, wo das näher bzw. verständlich erklärt wird, denn die wiki-Erklärung raff ich nicht.

18.01.2006, 19:59

MrPSI

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Ok, vielleicht kennt hier keiner eine gute Site.....
kann mir dann bitte jemand erklären, was der Konvergenzradius ist, und was er angibt, wie man in berechnet und was er mit einer Annäherung an eine andere Funktion zu tun hat.
Halt am besten alles was ihr über den Konvergenzradius wisst, denn von diesem Konvergenzradius hab ich bisher noch nie gehört und die wiki-Erklärung ist echt Klo

Klo

.

Schonmal ein Danke an alle die mir helfen und geholfen haben. smile

smile

18.01.2006, 23:29

sqrt(2)

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Vielleicht tut es ja ein Beispiel: Die blaue Kurve ist der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x+1) \end{eqnarray*}$ , die rote ihre Approximation mit den ersten 20 Gliedern der Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Da der Konvergenzradius 1 ist, divergiert die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ , anstatt weiterhin gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu konvergieren.

18.01.2006, 23:31

Lazarus

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antigauss, thema Taylor und Taylor-Restglied.

ich such mal noch ein bisschen weiter in meiner linksammlung, evtl kann ich dir noch was liefern.

\\edit: hier nachschub:
analysis script, ab seite 83

oder kurz und bündig

22.01.2006, 13:36

MrPSI

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@sqrt(2) und Lazarus: eure Beiträge waren wirklich hilfreich und anschaulich.

Aber mit den Kenntnissen über Potenz-/Taylorreihen und dem Konvergenzradius tun sich mir neue Fragen auf.
1. Woher weiß man wie groß der Konvergenzradius ist.
2. Gibt es eine Begründung wieso manche Funktionens sich über ein unendlich großes Intervall annähern lassen oder nur im Bereich des Konvergenzradius?
3. Wieso ist der Konvergenzradius als Betrag angegeben? z.B. bei sqrt's Logarithmusfunktion: dass es bei -1 nicht angenähert werden kann ist logisch, da die Funktion dort nicht definiert ist, die Taylorreihe aber schon. aber wieso kann sie dann auch bei +1 nicht angenähert werden???

22.01.2006, 21:32

MrPSI

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ok, die Berechnung des Konvergenzradius ist nicht so wichtig.
Aber gibt es denn keine Begründungen für die anderen beiden Fragen?

22.01.2006, 23:55

Lazarus

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Ums nicht abtippen zu müssen:
Wikis Kommentar zum Thema Konvergenzradius

So kann mans berechnen.
Die Frage, warum man den Radius als Betrag angiebt lässt sich anschaulich leicht erklären.

Einmal aus Sicht der Funktion, die angenähert werden soll:
Im Entwicklungspunkt nähert sich das Taylorpolynom mit steigendem n immer näher an. Dazu kommt der Graph des Polynoms immer schneller näher und entfernt sich immer langsamer. Die Tatsache jedoch, das sich das Polynom ja annähern und wieder entfernt, bedeutet das es zu beiden Seiten einen bestimmten Radius gibt.
Und da die genaue Größenordnung eigentlich egal ist, und lediglich der Abstand zählt, nimmt man den Betrag her.

Zu der Frage 2, Wieso das so ist, hab ich zwar ne Idee, weiß allerdings nicht inwieweit die korrekt ist, und würde daher andere lieber vorlassen.
Ausserdem isses schon spät, und ich muss morgen früh raus.

In diesem Sinne:
Gute Nacht!

23.01.2006, 00:52

Abakus

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Zitat:

Original von MrPSI
@sqrt(2) und Lazarus: eure Beiträge waren wirklich hilfreich und anschaulich.

Aber mit den Kenntnissen über Potenz-/Taylorreihen und dem Konvergenzradius tun sich mir neue Fragen auf.
1. Woher weiß man wie groß der Konvergenzradius ist.
2. Gibt es eine Begründung wieso manche Funktionens sich über ein unendlich großes Intervall annähern lassen und nur im Bereich des Konvergenzradius?

Der Konvergenzradius ist eigentlich der Radius eines Kreises in der komplexen Ebene. Einige Funktionen haben nun Singularitäten, etwa Pole. Reelle Funktionen lassen sich ja zumeist komplex fortsetzen, haben aber ggf. im Komplexen Pole, die im Reellen eben nicht sichtbar sind.

Der Konvergenzkreis von einem Punkt kann höchstens bis zum nächsten Pol reichen, was vielleicht einige Beschränkungen des Konvergenzradius erklärt.

Grüße Abakus smile

smile

23.01.2006, 09:13

MrPSI

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@Abakus: gibt es Links zu diesem Thema?
Damit kann ich dann den Konvergenzradius im Bezug auf die 2. Frage besser verstehen. Lässt sich mit diesem Wissen dann auch die 3. Frage beanworten?

23.01.2006, 15:43

Abakus

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@ MrPSI: Mit dem Thema allgemein befasst sich die Funktionentheorie, vielleicht also da einmal recherchieren (Wiki-Keywords: holomorphe Funktionen, meromorphe Funktionen, ggf. Laurentreihe). Es ist klar, dass da dann schon gewisse Grundlagen über Analysis und komplexe Zahlen vorausgesetzt sind.

Der Konvergenzradius ist der Radius eines Kreises. Es macht keinen Sinn, den anders als durch eine nichtnegative reelle Zahl anzugeben. Die betrachtete ln-Reihe konvergiert auch noch bei z=1 (und in allen anderen Punkten auf dem Konvergenzkreis außer bei z=-1).

Jedenfalls gilt folgender Satz:

Auf dem Rand des Konvergenzkreises einer (komplexen) Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(z) = \sum a_k*(z-c)^k \end{eqnarray*}$ liegt immer mindestens ein singulärer Punkt von f.

Pole sind zB singuläre Punkte. Ansonsten bedeutet ein endlicher Konvergenzradius nicht, dass die Funktion ggf. nicht auf einen größeren Bereich definiert werden kann. Es bedeutet nur, dass das mit dem betrachteten Entwicklungspunkt nicht geht. Du kannst einen anderen Entwicklungspunkt wählen und so ggf. einen weiteren Konvergenzkreis erhalten usw. (Fortsetzung mit Kreiskettenverfahren).

Grüße Abakus smile

smile

23.01.2006, 18:29

MrPSI

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Funktionentheorie? Wenn ich dafür bloss Zeit hätte.
Na, auf jeden Fall bedanke ich mich bei jedem Helfer. Wenn ich mich weiter mit der Materie beschäftige und Fragen habe, melde ich mich wieder.

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