Lin. Abb.: Bild, Kern, Dimension, Defekt. So richtig? |
| 16.05.2008, 13:37 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lin. Abb.: Bild, Kern, Dimension, Defekt. So richtig? ich plaudere mal, was ich verstanden habe und exerziere ein einfaches Beispiel durch. Lineare Abbildungen bilden Vektorräume über dem gleichen Körper aufeinander ab. Es gibt die Voraussetzung der Verknüpfungstreue für +,* auf die ich jetzt nicht weiter eingehen will, das bekomme ich hin. Homomorphismus nennt man das wohl. So. Nehmen wir eine Abbildung A von V->W. Die lin. Abb. kann man nun untersuchen. In der Regel wird erstmal gefordert zu zeigen, dass es eine ist. Setze ich mal voraus. Interessant sind dann weiter wohl die Dimensionen von Urbild und Bild. Und die Angabe des Kerns. Und die Dimension des Kerns. Habe mal ein Beispiel rausgesucht, ist aber ein bißchen einfach. Ist die Schreibweise so korrekt, wenn man mal von den horizontal geschriebenen Vektoren absieht?: A(V->W): R²->R³, A(x,y):=(x-y, y-x, x) 1. Kern(A). Das bedeutet für mich inhaltlich "Welche Vektoren aus V bilden auf den Nullvektor in W ab?" Man schaut sich also die Lösungsmenge für das LGS "W=0" an. Löst also ein LGS. Hier brauche ich keinen Gauss, man sieht direkt, dass x=0 sein muß, damit ist auch y=0. Also nur die triviale Lösung. Also: Kern(A)={(0,0)} Dim(Kern(A)) = 0 (wird auch Defekt genannt, also quasi der Verlust, den man hat) Dim(A) = Dim(V)-Dim(Kern(A)) = 2 - 0 = 2 1. Ist das so richtig? 2. Vielleicht hat mal jemand ein spannenderes Beispiel? Danke, wäre sehr nett. MfG Michael |
||||||
| 16.05.2008, 14:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Kern von A sind die Urbilder des Nullvektors von W, liegen also in V. Die triviale Lösung des Nullvektors von V existiert immer, sonst wäre die Abbildung auch nicht linear. Hier folgt mit den ersten Komponenten x=y und mit der dritten x=0, so dass es nur die triviale Lösung gibt. 
Der Rest ist Anwendung des Dimensionssatzes für endlich dimensionale Vektorräume. Der Defekt ist 0, somit der Rang = dim(Im(A)) gleich 2.
|
||||||
| 16.05.2008, 14:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lin. Abb.: Bild, Kern, Dimension, Defekt. So richtig?
Daß die Vektorräume über dem gleichen Körper sein müssen, wäre mir neu. Mit der Abildung A(V->W): R²->R³, A(x,y):=(x-y, 0, y-x) hast du auch eine Abbildung, wo die Dimension des Kern größer als 0 ist. |
||||||
| 16.05.2008, 14:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mmh, folgt das nicht aus der Homogenität? Edit Oder eher andersherum, ist das nicht teil der Definition, die dann die Homogenitätsbedinung so erst ermöglicht (?) Da vertraue ich wikipedia nun gerade nur mal bedingt. Der Fischer sagt (Kap 2) als ersten Satz in der Definition, dass eine Abbildung zwischen 2 K-Vektorräumen V und W betrachtet wird. Er nennt die Abbildung dann K-linear, im Falle dass es klar ist um welchen Körper es sich handelt, verkürzt er auf linear. |
||||||
| 16.05.2008, 14:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@tigerbine: da gebe ich dir recht. Weiß nicht, was ich mir gedacht habe. Die Hitze ist nicht gut fürs Hirn. Was wird nur sein, wenn es mehr als 30° sind? 
|
||||||
| 16.05.2008, 14:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da muss man dann ... kühlen 
^^ |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 16.05.2008, 14:58 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lin. Abb.: Bild, Kern, Dimension, Defekt. So richtig?
Nach Auflösung des LGS (x-y, 0, y-x)=(0,0,0) steht da x=y, der Kern ist also {(t,t)} für alle t elem. R. -> Kann man das so schreiben? Also eine Gerade durch den Ursprung. Dimension 1 für den Kern ist anschaulich klar, formal würde ich sagen, "weil das gelöste LGS, die gelöste Matrix den Rang 1 hat, damit ist die Dimension der Matrix 1". Also hat die Abbildung auch die Dimension 1. Wenn ich das richtig sehe bilden wir eine Gerade aus R² auf eine Gerade in R³ ab. |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
