maximale Fläche bestimmen

16.01.2006, 21:08

Hilfe!

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maximale Fläche bestimmen

Hallo ich brächte eine Kontrolle zu dieser Aufgabe und natürlich Hilfeee, die lautet:

Gegeben ist die Parabel $\begin{eqnarray*} p:y=\frac{1}{4}x² \end{eqnarray*}$ und die Gerade $\begin{eqnarray*} g: y-4=0 \end{eqnarray*}$ (oder gleich y=4). Dem von p und g begrenzten Flächenstück soll ein Rechteck vom maximalen Flächeninhalt so einbeschreiben werden, dass je zwei Ecken auf p un g liegen.

ich habe das versucht zu zeichnen aber hat nicht geklappt

ich habe erst 4 Punkte aufgestellt

P1 (a; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)
P2(a;4)
P3 (b; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ b²)
P4 (b;4)

(bennenung nach uhrzeigerrichtung)

dann habe ich versucht die Fläche zu berechnen

b-a= länge
breite= 4 - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ x²
und dann die Beiden multiplizieren aber ich weiß nicht was ich jetzt machen soll, oder ich weiß nicht, ob das stimmt!!!

16.01.2006, 21:45

sqrt(2)

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RE: maximale Fläche bestimmen

Zitat:

Original von Hilfe!
ich habe das versucht zu zeichnen aber hat nicht geklappt

Zitat:

Original von Hilfe!
P1 (a; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)
P2(a;4)
P3 (b; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ b²)
P4 (b;4)

(bennenung nach uhrzeigerrichtung)

Nein, in Uhrzeigerrichtung sind die nicht benannt. Wegen der Symmetrie der Parabel ist außerdem $\begin{eqnarray*} b=-a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hilfe!
breite= 4 - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ x²

Die Breite solltest du auch in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben.

Zitat:

Original von Hilfe!
und dann die Beiden multiplizieren aber ich weiß nicht was ich jetzt machen soll, oder ich weiß nicht, ob das stimmt!!!

Die Vorgehensweise ist richtig.

16.01.2006, 21:53

aRo

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so, ich habe das jetzt auch mal gerechnet, habe ja auch vor kurzem seit langer zeit wieder mein erstes beispiel gemacht.

ich sage dir daher mal meine strategie:

1. sachverhalt aufzeichnen (hast du ja nun schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
2. Zielfunktion aufstellen. Also eine Funktion, die später maximal werden soll.
Hier bietet sich natürlich sowas hier an: $\begin{eqnarray*} f(a,b) = a \cdot b \end{eqnarray*}$
dabei ist a die untere Seite und b praktisch die Höhe.

Jetzt überlege dir, wie du an eine NB kommst, d.h. hier, wie du a und b ausdrücken kannst.
Du brauchst später eine Funktion mit nur einer Variablen.

Gruß,
aRo

PS. Ich habe als einen Punkt auf p $\begin{eqnarray*} (2/3 | 1/9) \end{eqnarray*}$ . das stimmt doch, oder? Nur so als Kontrolle

16.01.2006, 21:58

steven

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ok, dann muss

p1 (a; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)
p2 (a;4)
p3 (-a; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ (-a)²)
p4 (-a;4)

dann

länge
a - b= a-(-a)=a+a=2a

breite
4 - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ (-a)²= 4- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²

A= 2a * (4- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)

= 8a - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ a³

A'= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ a²-8=0

$\begin{eqnarray*} a_{1,2} \end{eqnarray*}$ =+ - $\begin{eqnarray*} \sqrt{-4*8*1,5} \end{eqnarray*}$ durch 2* $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

a1=+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{48} \end{eqnarray*}$ durch 3
a2=- $\begin{eqnarray*} \sqrt{48} \end{eqnarray*}$ durch 3

ich glaub irgendetwas ist falsch an der Sache!!

16.01.2006, 22:02

sqrt(2)

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Nein, das ist alles richtig. Freude

Freude

16.01.2006, 22:14

steven

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kann ich dann noch anstatt $\begin{eqnarray*} \sqrt{48} \end{eqnarray*}$ durch 3
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ durch 3 schreiben , damit das schöner wird und ich glaub ich muss das dann mit der 2. Ableitung kontrollieren

ist dann für b das ganze Ergebnis in - ???

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16.01.2006, 22:15

riwe

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wenn da rauskommt
$\begin{eqnarray*} a=\frac{\sqrt{48}}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
dann stimmt eh alles
und dazu das nicht gezeichnete bild
werner

16.01.2006, 22:18

steven

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aber ist dann a ein negatives Wert oder Positives und was ist mit b
ich hab grad die Kontrolle mit der 2. Ableitung gemacht und da kommt bei mir eine Zahl der größer als 0 ist dann wird es ja ein Minimum aber ich brauche doch Maximum

16.01.2006, 22:22

sqrt(2)

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Zitat:

Original von steven
kann ich dann noch anstatt $\begin{eqnarray*} \sqrt{48} \end{eqnarray*}$ durch 3
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ durch 3 schreiben , damit das schöner wird

Kannst du.

Zitat:

Original von steven
und ich glaub ich muss das dann mit der 2. Ableitung kontrollieren

Wenn du nicht anders argumentierst, ist die hinreichende Bedingung auch nötig, ja. Auch eine Randwertuntersuchung gehört eigentlich zu einer Extremwertbestimmung.

Zitat:

Original von steven
aber ist dann a ein negatives Wert oder Positives und was ist mit b

Du musst dir noch einmal den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ klarmachen: Sie geben beide den Abstand zweier Eckpunkte von der y-Achse an. Weil die Parabel symmetrisch zur y-Achse ist und du ein Rechteck einbeschreiben sollst, sind beide Abstände gleich groß.

Zitat:

Original von steven
ich hab grad die Kontrolle mit der 2. Ableitung gemacht und da kommt bei mir eine Zahl der größer als 0 ist dann wird es ja ein Minimum aber ich brauche doch Maximum

Entweder hast du das falsch gemacht, oder du hast nicht beide Werte ausprobiert.

Das ist die Funktion für deine Fläche.

16.01.2006, 22:33

aRo

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darf ich noch mal zu meiner Kontrolle was dazwischen fragen?

Ist der maximale Flächeninhalt des Rechtecks: $\begin{eqnarray*} 5\frac{5}{27} \end{eqnarray*}$ ?

aRo

16.01.2006, 22:35

steven

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sind a und b auf der y - Achse also ist die Breite=a und die b dann von 0 bis zum Rechteck????

ich versteh immer noch nicht wie ich für die 2. Ableitung eine negative Zahl rausbekommen soll

ich habe so gerechnet

A''=3a und dann für a die $\begin{eqnarray*} 4/3 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

16.01.2006, 22:37

steven

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und ich habe für die Breite 8/3

von der Formel 4 - 1/4 a²

16.01.2006, 22:44

cst

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Zitat:

Original von steven

A= 2a * (4- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)

= 8a - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ a³

A'= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ a²-8=0

...

ich glaub irgendetwas ist falsch an der Sache!!

Ja, und zwar das Vorzeichen der ersten Ableitung. Das macht hier ausnahmsweise mal nix an der Lösung. Wenn man das VZ umdreht, dürfte dann auch der Nachweis mit der 2. Ableitung hinhauen (A'' = -3 a).

Christian

16.01.2006, 22:47

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von aRo
Ist der maximale Flächeninhalt des Rechtecks: $\begin{eqnarray*} 5\frac{5}{27} \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Die Extremstelle haben wir hier im Thread auch schon...

Zitat:

Original von steven
sind a und b auf der y - Achse also ist die Breite=a und die b dann von 0 bis zum Rechteck????

Könntest du bitte ganze, grammatisch korrekte und auch verständlich interpunktierte Sätze wahlweise in deutsch, englisch oder spanisch verfassen?

Zitat:

Original von steven
ich versteh immer noch nicht wie ich für die 2. Ableitung eine negative Zahl rausbekommen soll

Hier liegt möglicherweise das Problem:

Zitat:

Original von steven
A= 2a * (4- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a²)

= 8a - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ a³

A'= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ a²-8=0

Da ist ein Vorzeichenfehler, den ich vorher übersehen habe, daher wohl die Verwirrung.

16.01.2006, 23:01

steven

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ok, leicht verständliche Frage:
wo liegt a und b in der Zeichnung???

Vorzeichenfehler habe ich verbessert und es kommt jetzt das Richtige raus!

und ich habe für die max. Fläche 64/9 $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bekommen stimmt es??

16.01.2006, 23:02

aRo

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oh man bin ich doof, sorry!

so habe korrigiert, stimmts jetzt?

F max = $\begin{eqnarray*} 23 \frac{19} {27} \end{eqnarray*}$

17.01.2006, 00:14

sqrt(2)

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Zitat:

Original von steven
und ich habe für die max. Fläche 64/9 $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bekommen stimmt es??

Ja.

(... womit sich deine Frage wohl erledigt hat, aRo. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.01.2006, 00:49

Ace Piet

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Die Wege zum Ziel von 64/9 *Wurzel(3) ...

Die Grundseite des Rechteckes ist 2x für x aus [0;4].
Die "senkrechte" Seite ist 4 - 1/4* x^2

Damit ist die Fläche des Rechteckes F= 8x - 0.5*x^3

Ergo F'= 8 -(3/2)*x^2 = 0 => x = (4/3)* sqrt(3) ;beachte x aus [0;4]

Oben eingesetzt ist F(max) = (64/9) * sqrt(3), wobei die max. Grundseiten je (8/3)* sqrt(3) und (8/3) sind.

Die einbeschriebene max. Fläche des Rechteckes F nimmt mit (1/3)* sqrt(3) ~ 57,7% zur möglichen Fläche (Parabel unter Gerade) das gleiche Verhältnis ein, wie die je max. Rechtecksseiten. - Sicherlich war nur F(max) gefragt, aber bei den üblichen ExtremalAufgaben bleibt eher das geometrische Resultat haften (zB. Breite : Höhe einer oberflächenmin. RavioliDose), daher dieser Abschnitt.
Prost

Prost

17.01.2006, 13:35

aRo

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das ist doch nicht zu fassen! aber ich habs verstanden, hatte schon wieder einen doofen Rechenfehler drin.

Hatte am Schluss statt:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{5\frac{1}{3}}\cdot (4 - 0.25 \cdot 5 \frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

dummerweise das hier gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 10\frac{2}{3} \cdot (4 - 1/3 \cdot 5 \frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

also wurzel vergessen und eine 0.25 in eine 0.3333.. verwandelt. Schon merkwürdig Augenzwinkern

Augenzwinkern

*kopfschüttel*

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