Ermittlung der Funktionsgleichung

25.04.2004, 16:51

schnuffy1de

Ermittlung der Funktionsgleichung

Hi

Habe eigentlich nur eine Frage. Wie kann ich die Funktionsgleichung ermitteln?

Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Tiefpunt T(2|0) und den Wendepunkt W(0|2)

Vielen Dank für Eure Mühe im Vorraus

MfG schnuffy1de

25.04.2004, 16:59

chriwi

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RE: Ermittlung der Funktionsgleichung
Hallo,

die allgemeine Form der ganzrationalen Funktion dritten Grades ist doch

$\begin{align*} f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d \end{align*}$

mit den 4 Unbekannten a,b,c und d

Wenn du nun die erste Ableitung dieser allg. Funktion Null setzt und deinen Tierfpunkt einsetzt, hast du die erste Gleichung von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Mit dem WEP und der zweiten Ableitung analog verfahren.
Achtung: die beiden Punkte sind natürlich auch Kurvenpunkte !!

Reicht das als Anleitung ?

25.04.2004, 17:00

Gnu

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Weisst Du wie man an solche Aufgaben herangeht, bzw. welche Informationen man sich aus den Angaben rausziehen kann und dass dann mathematisch formuliert? Stichwort Gleichungssystem?

25.04.2004, 17:08

schnuffy1de

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Zitat:

Original von Gnu
Weisst Du wie man an solche Aufgaben herangeht, bzw. welche Informationen man sich aus den Angaben rausziehen kann

ne, leider nicht

25.04.2004, 17:17

wujack

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Tiefpunt T(2|0) und den Wendepunkt W(0|2)

Funktion 3ten Gerades : ax³+bx²+cx+d

Tiefpunkt T(2|0) -> f`(2) = 0
Wendepunkt W(0|2) ->f``(0)=2

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f`(x)=3ax²+2bx+c

f``(x) = 6ax+2b

Jetzt nur noch einsetzen, dass kannst ja dann selber smile

25.04.2004, 17:27

Gnu

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Die obrigen Angaben geben ein paar Infos, fangen wir an:

T(2/0) heisst:

1. die Funktion hat bei x = 2 eine Nullstelle
und 2. die 1. Ableitung der Funktion ist bei x = 2 null. (Da dies die Bedingung für eine Extremstelle ist.)

WEP (0/2) heisst:

1. die Funktion hat bei x = 0 den Funktionswert 2
=> f(x) = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d = 2
=> f(x) = 0 + 0 + 0 + d = 2
=> d = 2

2. die 2. Ableitung der Funktion ist bei x = 0 auch null, da dies Bedingung für einen Wendpunkt ist.

Also:

T(2/0) in die Normalform wie von chriwi eingesetzt:

0 = a * 2³ + b * 2² + c * 2 + 2 (d haben wir ja schon ermittelt)
0 = 8a + 4b + 2c + 2
-2 = 8a + 4b + 2c - dies nennen wir Gleichung I

Bilden wir von der Normalform nun die erste Ableitung, wobei wir gemäß Konstantenregel mit dem a, b und dem c verfahren.

$\begin{align*} f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d \end{align*}$
$\begin{align*} => f'(x) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c \end{align*}$

Diese soll jetzt für x = 2 null sein.

$\begin{align*} => f'(2) = 0 => 3 * a * 2^2 + 2 * b * 2 + c = 0 \end{align*}$
$\begin{align*} => 12*a + 4*b + c = 0 \end{align*}$ - dies bezeichnen wir als Gleichung II.

Jetzt zum Wendepunkt:

Leiten wir erstmal gleich weiter ab um auf die 2. Ableitung zu kommen welche ja für x = 0 null werden soll:

$\begin{align*} f'(x) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c \end{align*}$
$\begin{align*} => f''(x) = 6*a*x + 2*b \end{align*}$
$\begin{align*} => f''(0) = 0 => 6 * a * 0 + 2 * b = 0 => 2b = 0 => b = 0 \end{align*}$

Jetzt haben wir bereits b = 0 und d = 2 ermittelt. Was die Arbeit erheblich vereinfacht.

Wir haben jetzt noch 2 Unbekannte (a und c) in den Gleichungen I und II, welche wir nun mithilfe des Additionsverfahrens ermitteln wollen.

I: -2 = 8a + 4b + 2c - aber da b = 0 $\begin{align*} => -2 = 8*a + 2c \end{align*}$
II: 12*a + 4*b + c = 0 - aber da b = 0 $\begin{align*} => 12*a + c = 0 \end{align*}$

Damit sich nun beim Additionsverfahren eine größe wegsubtrahiert, multiplizieren wir Gleichung II mit 2:

=> 12 * a + c = 0 | * 2
=> 24 * a + 2 * c = 0

Nun ziehen wir II von I ab:

24 * a + 2 * c = 0
- 8 * a + 2 * c = - 2

=> 16 * a = 2 | / 16
=> a = $\begin{align*} \frac {1} {8} \end{align*}$

Jetzt setzen wir a entweder in I oder in II ein, nehmen wir einfach I:

I: $\begin{align*} 8 * \frac {1} {8} + 2 * c = - 2 \end{align*}$
$\begin{align*} => 1 + 2*c = -2 | -1 \end{align*}$
$\begin{align*} => 2 * c = - 3 | / 2 \end{align*}$
$\begin{align*} => c = -1,5 \end{align*}$

Wir haben also unsere Unbekannten a, b, c und d alle ermittelt und können jetzt die Gleichung schreiben:

$\begin{align*} f(x) = \frac {1} {8} * x^3 - 1,5 * x + 2 \end{align*}$

25.04.2004, 17:28

Mordred

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ich würd folgender Masen ran gehen benutze das additionverfahren.dafür braucht man bei einer funktion 3.grades 4 Gleichungen.

Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Tiefpunt T(2|0) und den Wendepunkt W(0|2)

dir ist folgendes gegeben:

Ausgangsfunktion: f(x)= ax^3+bx^2+cx+d
1.Ableitung f'=3ax^2+2bx+c
2.Ableitung f''=6ax+2b

P1 (2/0) => einsetzen in die Ausgangsfunktion
p2 (0/2) => ebenfalls einsetzen in die Ausgangsfuntkion

ein tiefpunkt wird über die 1.ableitung bestimmt.
also setze in einfach ein

P3 (2/0) => einsetzen in die 1.Ableitung

ein Wendepunkt wird über die 2.ableitung bestimmt.
also setze in einfach ein

P4 (0/2)=>einsetzen in die 2.Ableitung

Nun haste 4 Gleihungen und kannst das additionsystem runterrattern

~Alle Angaben ohne Gewähr , vebessert mich wenn ich mich irre smile

26.04.2004, 09:32

schnuffy1de

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@ All

Schönen Dank für Eure Mühen 8)

MfG

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