Problem mit meiner ersten Diff.-Gleichung

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Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit meiner ersten Diff.-Gleichung
Hallo.
Ich hätte da mal eine kleine Frage bezüglich einer Differentialgleichung.

Die Aufgabe ist die Folgende:

Sei s>0 gegeben. Bestimme die Differentialgleichung der Kurven , für welche die Tangentenabschnitte zwischen Berührungspunkt und x-Achse alle dieselbe Länge s besitzen.

Jetzt hab ich mir folgenden Lösungsansatz gesucht:
Ich weiss ja, dass die Steigung im Punkt x0 = y'(x0) ist.
Andererseits nenne ich jetzt den Schnittpunkt mit der x-Achse x1. Dann muss die Steigung ja auch gleich dem Quotienten: sein.
Daraus erhalte ich:

Desweiteren ist s ja konstant und es gilt:

Einsetzen liefert:


Jetzt hab ich mir gedacht: Ja, hey, wenn s konstant ist, kann ich doch das ganze Ding ableiten und 0 setzen.
Wenn ich das mache und etwas umforme erhalte ich (ich ersetz jetzt x0 durch x, da es ja für beliebige x gilt):



Daraus hab ich dann mit der Mitternachtsformel y'(x)^2 bestimmt:


Ist das bis hierher korrekt? Falls ja (evt. könnte das mal jemand nachrechnen, ob das mit den Ableitungen stimmt, falls sonst nirgends ein Fehler ist und die Lösung komisch aussieht) bin ich wie folgt weitergefahren:
Ich hab angenommen: und dann mal eingesetzt. Dann erhielt ich als Lösung k = 0 und das erscheint mir nicht sinnvoll, da ich annehme, dass es für jede Länge s eine bestimmte Kurve geben wird. For allem wäre dann y'(x) = 0 also müsste y(x) eine konstante Funktion sein. Oder darf man das sogar als Lösung betrachten? Dann ist aber s nicht definiert, da die Tangente einer konstanten Funktion die x-Achse nicht schneidet.

Also hab ich gesagt, die Lösung muss anders aussehen und hab den Ansatz eines Monoms gemacht:

Einsetzen und auflösen führt mich zur Lösung:


Dies hängt jetzt wieder von x ab, was auch nicht wirklich erwünscht ist. Allerdings hab ich jetzt das ganze noch nicht in die Gleichung für s eingesetzt. Könnte es sein, dass sich da etwas wegkürzt?

Hab ich einen Denkfehler gemacht? Falscher Lösungansatz? Oder muss ich einfach weitere Funktionen suchen?

mfg
Steve
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit meiner ersten Diff.-Gleichung
Zitat:
Original von Steve_FL
Einsetzen liefert:



Steve

bis hierher wäre ich einverstanden,
und ab hier mit trennung der variablen weiterarbeiten.
das gibt dann


bitte nicht kreuzigen
werner

bildchen mit x und y vertauscht
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit meiner ersten Diff.-Gleichung
was ist mit der rechten Seite passiert?

ist das dein ?

Wie darf ich jetzt dieses "leere" Integral behandeln? Der Professor war nicht da für die Einleitung dieses Kapitels und der Assistent vermochte nicht wirklich zu zeigen, wie man mit solchen Gleichungen umgeht.

Darf ich einfach durch dx dividieren und erhalte dann:

also


dann hab ich aber keine Angabe mehr worüber ich integrieren soll. Beides mal über x?
Oder wird die rechte Seite einfach 0?

Und jetzt noch die Frage: wie komm ich eigentlich zu einer Lösung? Schon indem ich einfach verschiedene Ansätze wie oben versuche?

hoffe, meine Probleme sind verständlich Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit meiner ersten Diff.-Gleichung
ausgehend von der von dir (und mir) erstellten gleichung


mit
(formale) trennung der variablen

und die integration liefert die häßliche kurve, die ich abgebildet habe. sie scheint aber zu stimmen.
werner

lösungesweg für diese diffgleichung ist eben die "methode der trennung der variablen "= links alles mit y und y´, rechts alles mit x und x´" und dann beide seiten integrieren)
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so. ich glaube, jetzt gehts.

Wenn ich dann also das integriere, erhalte ich ein:

oder genauer:
.

Und dies ist dann die Lösung? Ich versuch das jetzt mal auf dem Papier so weiterzurechnen und eine Lösung zu suchen, (ich glaube, ich muss das als elementare Funktion angeben). Oder lässt sich dies nicht mehr weiter umformen? (ich werds in paar Minuten bestimmt selbst wissen Zunge ) verwirrt

Besten Dank. ich hoffe damit werde ich die restlichen diff-Gleichungen dann etwas schneller lösen können. Bin gespannt, scheint mir ein spannendes thema zu sein (zumindest in der Anwendung).

gruss
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist die lösung, und die rechte seite läßt sich auch integrieren

(bronstein, S 967)
und irgendwo bringst du dann noch eine integrationskonstanze C unter, dann hat man (angeblich) alle lösungen
werner
 
 
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

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