Frage zum Dimensionssatz/Rangsatz

16.05.2008, 16:51

blub85

Frage zum Dimensionssatz/Rangsatz

Servus!

Ich habe zu folgendem Satz eine Frage:

link

Ich mache mal ein Beispiel (das diesen Satz nicht erfüllt), also muss ich ja irgendwo einen Fehler machen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die Identität, also $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Der Kern ist ja simpel zu finden:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(0)=\{0\} \end{eqnarray*}$

Das Bild ist aber doch

$\begin{eqnarray*} f(V) = \{x|x \in \mathbb R^2\} \end{eqnarray*}$

So mit ergeben sich

dim(kern f) = 1
dim(img f) = unendlich (?!?)
und
dim(V) = 2 (Basis sind zB die beiden kanonischen Einheitsvektoren von R^2)

Dies erfüllt aber nicht den Dimensionssatz.

Wo ist mein Fehler??

Danke!

16.05.2008, 16:56

therisen

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Zitat:

Original von blub85
So mit ergeben sich

dim(kern f) = 1
dim(img f) = unendlich (?!?)
und
dim(V) = 2 (Basis sind zB die beiden kanonischen Einheitsvektoren von R^2)

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \dim\ker f=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dim\mathrm{im} f=2 \end{eqnarray*}$ . Der Rangsatz besagt nun $\begin{eqnarray*} 0+2=2 \end{eqnarray*}$ . Das stimmt offenbar.

16.05.2008, 17:01

blub85

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mh, warum ist den dim(ker f)= 0 ?? ich habe doch den Nullvektor als (einzigen) Kern von F und das ist doch ein Element ?!? Weißt Du wie ich das meine?!

und warum ist gilt dim(img f) = 2 ?? Kannst Du mir das mal näher erklären? Verstehe das nicht..

DANKE!!

16.05.2008, 17:26

blub85

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kann mir da mal einer helfen?? ich verstehe das leider nicht :/

16.05.2008, 17:29

tmo

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Gerade für die Identität ist es doch trivial, dass das Bild gleich dem Urbildvektorraum ist. Und der ist nunmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , hat also die Dimension 2.

Und zum Kern: Es ist $\begin{eqnarray*} dim(\{ 0 \}) = 0 \end{eqnarray*}$ , denn in diesem Vektorraum findet man keinen einzigen linear unabhängigen Vektor.

16.05.2008, 17:35

blub85

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der Kern ist ja so definiert:

$\begin{eqnarray*} ker f= f^{-1}(0):=\{v \in V| f(v)=0\} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir das so vorgestellt:

Suche all die v's im Definitionbereich (hier V) für die f(v)=0 ist und das ist ja beim Nullvektor der Fall... Also habe ich einen Vektor gefunden, daher folgerte ich, dass die Dimension von diesem Unterraum eins ist.. ?!? Ich verstehe das noch nicht ganz.. unglücklich

zum Bild:

$\begin{eqnarray*} im f= f(V) := \{f(v) | v \in V\} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich mir das so gedacht:

Das Bild einer Funktion f sind genau die Vektoren, die die Funktion abbildet. Bei der Identität sind das doch alle Vektoren des Definitionsbereiches, also in meinem beispiel R^2. Dies sind unendlich viele, wie komme ich dann auf Dim 2??

Habe ich vielleicht die Defintion des Kernes und des Bildes falsch aufgegriffen??

DANKE! Wink

16.05.2008, 17:40

tmo

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Kern und Bild hast du richtig bestimmt, aber du scheinst mit dem Begriff der Dimension noch Probleme zu haben.

Die Dimension ist nicht die Anzahl der Elemente eines Vektorraums, sondern die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum.

16.05.2008, 17:41

blub85

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ja, genau das war der springende Punkt!

Habe eben mit wiki versucht das zu verstehen und habs geschafft! Augenzwinkern

Vielen Dank für Deine Hilfe!! Freude

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