Taylorreihen

17.01.2006, 15:42

Kanisi

Taylorreihen

Man soll die Taylorreihen um x0=0 der folgenden Funktionen bestimmen.

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=2x^{4}-3x^{3}+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k(x)=\frac{e^x}{2+x} \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht so ganz wie das funktionieren soll!!!

lg und danke für eure Hilfe

17.01.2006, 15:43

Dual Space

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Woran scheitert's denn?

17.01.2006, 15:59

Kanisi

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bei der 1. funktion ersetze ich y=x-1 und erhalte dann $\begin{eqnarray*} \frac{y+1}{y+2} \end{eqnarray*}$ und weiss nicht wie ich das umformen kann, damit ich auf die geometrische Reihe komme.

zur 2. hab ich die ersten 5 ableitungen berechnet und soll dass dann als $\begin{eqnarray*} h(x)= j ((x-1)^{k})+l((x-1)^{k})+u((x-1)^{k})+ \end{eqnarray*}$ und sollte nun j,l und u ersetzen aber ich weiss nicht wie das funktionieren soll.

und bei der 3. hab ich überhaupt keine ahnung wie ich anfangen soll

17.01.2006, 16:34

Mathespezialschüler

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Verschoben

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x}=x\cdot \frac{1}{1-(-x)} \end{eqnarray*}$ .

Den zweiten Term kannst du als geometrische Reihe schreiben und schon hast du deine Taylorreihe. Da du um die Stelle 0 entwickeln sollst, brauchst du bei der 2. gar nichts machen, die Taylorreihe steht schon da. Die dritte kannst du so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname e^x}{2+x}=\frac{\operatorname e^x}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ .

Beide Faktoren kannst du in Reihen entwickeln. Anschließend kannst du dann die Reihen mithilfe des Cauchyprodukts multiplizieren.

Gruß MSS

17.01.2006, 16:34

as_string

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Du mußt bei allen drei Aufgaben nur das hier anwenden:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) \cdot (x-x_0)^2 + ...\\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$
Also, erstmal ne Menge Ableitungen ausrechnen und dann einfach einsetzen...

Gruß
Marco

17.01.2006, 16:39

Dual Space

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Zitat:

Original von as_string
Also, erstmal ne Menge Ableitungen ausrechnen und dann einfach einsetzen...

Wenn man es wirklich in Reihenform (also unendlich viele gleider) bringen will, hat man da aber mächtig was zu tun. Big Laugh

Aber ich glaube alle wußten was du meinst!

17.01.2006, 16:55

antykoerpa

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Ich finde das größte Problem bei einer Reihenentwicklung ist, das "Muster" der Reihe zu finden.. Ableiten und Co., und danach x Reihenglieder hinzuschreiben ist eine Sache, aber das Muster... smile

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