Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Neue Frage »

17.01.2006, 16:15	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Hallo! Ich hab folgende Dgl 2. Ordung gegeben: $\begin{eqnarray} x^2 y'' - 2 x y' + 2y = 6/x \end{eqnarray}$ Dort soll ich ein fundamentalsystem mit dem ansatz $\begin{eqnarray} y(x) = x^\lambda \end{eqnarray}$ berechnen. Das habe ich auch gemacht und die lösung der zugehörigen homogenen dgl lautet : $\begin{eqnarray} y_h= c1 x + c2 * x^2 \end{eqnarray*}$ . Die spezielle Lösung soll ich mit der Methode Varation der Konstanten berechnen. Laut mapple lautet die spezielle lösung 1/x ich selbst komme aber auf alle möglichen terme nur nicht auf 1/x. Die Methode der Variation der konstanten selbst ist mir klar und in der vorlesung und im tutorium haben wir auch beispiele dazu gerechnet. Ich bin mir sicher dass ich sie auch richtig anwende aber trotzdem erhalte ich nicht 1/x kann jemand helfen ?? danke, christian
17.01.2006, 17:05	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Hi christian, die homogene Lösung bekomme ich auch heraus. Für die partikuläre Lösung fällt mir jetzt nur die Cauchy Differentialgleichung ein. Du kannst $\begin{eqnarray} x=e^{t} \end{eqnarray}$ substituieren. Dann ist $\begin{eqnarray} y'(x)=\frac{y'(z)}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y''(x)=\frac{y''(z)-y'(z)}{x^2} \end{eqnarray}$ wenn du das einsetzt bekommst du eine ganz normale DGL 2 ordnung mit konstanten Koeffizienten. Anschließend noch zurücksubstituieren Gruß Jan
17.01.2006, 17:08	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Kannst auch wenn du es siehst die dgl so umformen: $\begin{eqnarray} x^3 y''-2x^2 y'+2yx=6 \end{eqnarray}$ und dann muss $\begin{eqnarray} y=\frac{A}{x} \end{eqnarray}$ sein weil ja sonst keine konstante auf der rechten seite entsteht.
17.01.2006, 19:24	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ok das ist alles einleuchtend...aber die methode der variation der konstanten(wie in der aufgabe gefordert) hab ich damit ja nicht angewendet oder?!? mfg, christian
17.01.2006, 21:01	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wieso müsste das nicht dann: $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{A}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(x)=\frac{-1}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''(x)= \frac{2A}{x^3} \end{eqnarray}$ sein. Eingesetzt ergibt das: $\begin{eqnarray} 2A+2A+2A=6 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} A=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} yp=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Ist das nicht die Variation der Konstanten? Gruß Jan
17.01.2006, 21:16	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten naja also ich kenne die methode der variation der konsanten so, dass man die ja zunächst konstanten c1 und c2 in der homogenen lösung bei eben dieser methode als funktionen bezeichnet....und dann die funktionen c1 und c2 bestimmt und schließlich die partikuläre lösung erhählt. Aber es ist auch die frage wie es in der aufgabe verlangt ist...wenn es nur eine empfehlung ist die aufgabe mit variation der konstanten zu lösen dann dürfte die lösung reichen. Wenn es allerdings so gefordert ist die aufgabe so also über variation der konsanten zu lösen dann wid das wahrscheinlich nicht reichen. Denn das was du (wir) gemacht haben ist ja im prinzip ein simpler koeffizienten vergleich. mfg, christian
Anzeige

18.01.2006, 11:19	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wenn als Lösungsmethode Variation der Konstanten gefordert ist, macht es keinen Sinn, irgendwelche anderen Methoden zu verwenden. Der Ansatz ist hier: $\begin{eqnarray} y_{VdK}= c_1(x) x + c_2(x) * x^2 \end{eqnarray}$ . Dies ist in die DGL einzusetzen und dann sollte sich für $\begin{eqnarray} c_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_2(x) \end{eqnarray}$ etwas ergeben. Am besten zeigst du mal deinen Rechengang. Inwieweit sich das ergebende System auflösen lässt, wird man dann sehen. Ich könnte mir alternativ vorstellen, die von Harry Done vorgeschlagene Substitution $\begin{eqnarray} x = e^t \end{eqnarray*}$ zu machen und dann auf die sich ergebende (inhomogene) lineare DGL Variation d. Konstanten anzuwenden. Grüße Abakus
18.01.2006, 15:41	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten wie würde die dgl denn aussehen wenn ich $\begin{eqnarray} x = e^t \end{eqnarray}$ substituieren würde? mfg, christian
18.01.2006, 16:15	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Du hast dann: $\begin{eqnarray} x = e^t \Leftrightarrow t = ln(x) \end{eqnarray}$ und damit: $\begin{eqnarray} u(t) := y(e^t) = y(x) \Leftrightarrow y(x) = u(ln(x)) \end{eqnarray}$ Die Ableitungen sind (Kettenregel): $\begin{eqnarray} u'(t) = y'(e^t) e^t = y' * x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u''(t) = y'' * x^2 + y' * x \end{eqnarray*}$ Das sollte sich gut in die DGL einsetzen lassen. Grüße Abakus
18.01.2006, 17:03	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wenn deine Ausgangs-DGL so lautet: $\begin{eqnarray} y''(x)+p1(x) y'(x)+p0(x) y(x)=q(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''(x)-\frac{2}{x} y'(x)+\frac{2}{x^2} y(x)=\frac{6}{x^3} \end{eqnarray}$ ist die allgemeine partikuläre Lösung: $\begin{eqnarray} yp(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yp(x)=c1(x)x+c2(x)x^2 \end{eqnarray}$ mit der Determinate von Wronski W(y1,y2) gilt dann: $\begin{eqnarray} W(y1,y2)=\begin{vmatrix} y1(x) & y2(x) \\ y1'(x) & y2'(x) \end{vmatrix}=y1(x)y2'(x)-y2(x)y1'(x)=x \cdot 2x-x^2=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c1(x)=-\int_{}^{}~\frac{y2(x)q(x)}{W(y1,y2)}~dx= -\int_{}^{}~\frac{x^2 \cdot 6}{x^2 \cdot x^3}~dx=\frac{3}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c2(x)=\int_{}^{}~\frac{y1(x)q(x)}{W(y1,y2)}~dx= \int_{}^{}~\frac{x \cdot 6}{x^2 \cdot x^3}~dx=-\frac{2}{x^3} \end{eqnarray}$ also ist die partikuläre Lösung: $\begin{eqnarray} yp(x)=\frac{3}{x^2}x-\frac{2}{x^3}x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yp(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Was mit der Substitution x=e^t viel einfacher zu Berechnen ist. Gruß Jan
19.01.2006, 12:03	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten genau so wie du es gemacht hast hab ich auch versucht c1(x) und c2(x) auszurechnen. Wir hatten es auch so in der vorlesung und im tutorium aufgeschrieben. Ich hatte jedoch für wie du es bezeichnest q(x) nicht 6/x^3 sondern nur 6/x, ich hatte also die dgl nicht durch x^2 dividiert. Dann klappt später jedoch die probe nicht mehr. Kannst du mir sagen wieso man die dgl mit x^2 dividieren muss? mfg, christian
19.01.2006, 14:30	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Du musst mit x^2 dividieren um auf die AusgangsDGL zu kommen: $\begin{eqnarray} y''(x)+p1(x)y'(x)+p0(x)y(x)=q(x) \end{eqnarray}$ deine hatte ja sonst noch den Faktor x^2 vor der zweiten ableitung. Gruß Jan
19.01.2006, 14:39	christian1985	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ok danke, das erklärt natürlich einiges. Wir hatten in der vorleseung von was von euler cauchy dgls die genau dieser form hatten (also mit dem x^2 vor y'') und es hatte sich so angehört als ob man an dieser "form" nichts verändern dürfte... naja egal jetzt klappts ja, danke vielmals, christian

Neue Frage »

Antworten »

Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Verwandte Themen