Beweis mit Legendre-Symbol

16.05.2008, 21:54	Krin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Legendre-Symbol Hallo, wie kann man folgendes zeigen: Sei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl mit $\begin{eqnarray} p \equiv 1 \mod 4 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \sum_{a=1}^{p-1} a \left( \frac{a}{p} \right) = 0 \end{eqnarray}$ . Ich sehe gar nicht, wie man hier anfängt. Haben die quadratischen Reste zu Primzahlen obiger Form eine besondere Eigenschaft?
17.05.2008, 01:20	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher dass da das a als Faktor noch in der Summe stehen soll ? Was ich noch weiss ist, dass es bei einem Primzahlmodul p sowohl (p-1)/2 quadratische Reste als auch (p-1)/2 quadratische Nichtreste gibt und das Legendresymbol im 1. Fall den Wert 1 und im 2. Fall den Wert -1 annimmt. Somt würde sich beim Aufsummieren alles aufheben.
17.05.2008, 07:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \left( \frac{-a}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \cdot \left( \frac{-1}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \left( \frac{a}{p} \right) \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} p\equiv 1\mod 4 \end{eqnarray}$ , oder anders geschrieben $\begin{eqnarray} \left( \frac{p-a}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a=1,\ldots,p-1 \end{eqnarray}$ . Somit folgt durch Umindizierung $\begin{eqnarray} b=p-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{a=1}^{p-1} a \left( \frac{a}{p} \right) = \sum_{b=1}^{p-1} (p-b) \left( \frac{p-b}{p} \right) = \sum_{b=1}^{p-1} (p-b) \left( \frac{b}{p} \right) \end{eqnarray}$ und dann wieder ein Teil der Summe nach links gebracht: $\begin{eqnarray} 2\cdot \sum_{a=1}^{p-1} a \left( \frac{a}{p} \right) = p\cdot \sum_{a=1}^{p-1} \left( \frac{a}{p} \right) \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man die von Bjoern1982 getroffene Aussage dazu nutzen, um rechts den Wert Null zu erhalten.
17.05.2008, 09:26	Krin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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