Monotonie

16.05.2008, 21:59

Egon

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Monotonie

Hi!

Ich habe folgende Aufgabe vor mir: seien $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und a<b. Sei ausserdem die monoton wachsende Funktion f gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x): [a,b]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray*} x_0\in[a,b] \end{eqnarray*}$ . Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist rekursiv definiert als: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen, dass die Folge entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist. Ich habe das so angepackt:

Sei $\begin{eqnarray*} x_n\leq x_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Dann bedeutet das aufgrund der Monotonie der Funktion, dass $\begin{eqnarray*} \underbrace{f(x_n)}_{x_{n+1}}\leq \underbrace{f(x_{n+1})}_{x_{n+2}} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Dies wiederum passt perfekt zur ursprünglichen Annahme, dass die Folge monoton wachsend ist.

Sei hingegen $\begin{eqnarray*} x_n \geq x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , so muss auch gelten $\begin{eqnarray*} \underbrace{f(x_n)}_{x_{n+1}}\geq \underbrace{f(x_{n+1})}_{x_{n+2}} \end{eqnarray*}$ .Auch dies passt zur ursprünglichen Annahme.

Damit ist bewiesen, dass die Folge entweder monoton wachsend oder monoton fallend sein muss.

Ist das korrekt und ist das schon alles? verwirrt

verwirrt

Danke.

17.05.2008, 00:38

tigerbine

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RE: Monotonie
Die Funktion f ist monoton wachsend auf [a,b]. Nun solltest Du noch einen Schritt einfügen.

Start der Folge bei $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ , dann liegt auch wegen der Definition von f $\begin{eqnarray*} x_1:=f(x_0) \in [a,b] \end{eqnarray*}$ . Dann kommt die Fallunterscheidung.

Interessant fände ich nun den Fall, dass man mit dem Startwert einen Fixpunkt trifft, was bei dieder Konstellation ja durchaus möglich wäre. Dann ist sie nämlich beides, somit die Aussage "entweder oder" nicht korrekt.

17.05.2008, 19:12

Egon

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RE: Monotonie
Es ist in der Tat eine weiter Teilaufgabe genannt, bei der ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt ist.

Da habe ich aber echt keinen Plan...

17.05.2008, 19:19

tigerbine

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RE: Monotonie
Was ich eher mit meiner Frage meinte, war, dass eine konstante Folge sowhl als steigend als auch als fallend gewertet werden kann, somit ist "entweder oder" nicht richtig.

Wenn Du die andere Aufgabe nicht komplett nennst, kann keiner weiterhelfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2008, 19:37

Egon

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RE: Monotonie
Danke, tigerbine. Ja, diese ungenaue Ausdrucksweise (das entweder war natürlich falsch) ist mir nach deiner Bemerkung aufgefallen.

Die andere Aufgabe ginge eben darum, zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt der bereits bei der ursprünglichen Aufgabe verwendeten Funktion f ist, also dass f(x)=x gilt.

Da aber von der Funktion f nur die Definitions- und Wertemenge gegeben ist, weiss ich gar nicht, wie ich das beweisen könnte.

Ich habe mir aber eine Überlegung gemacht (die ich im Moment nur unmathematisch formulieren kann):

Die Funktion bildet von [a,b] in [a,b] ab. Einerseits kann man sagen, sie wirke "vergrössernd", also f(x)>=x, weil ja die Folge (x_n) monoton wachsend sein kann.

Andererseits kann man auch sagen, die Funktion wirke "verkleindernd", also f(x)<=x, weil die Folge auch als monoton fallend angesehen werden kann.

Da nun aber Definitions- und Wertemenge identisch und beschränkt sind, kann die Funktion weder beliebig "vergrössern" noch "verkleinern", denn sonst würde ja das Ergebnis von f(b) oben hinausfallen bzwl das von f(a) unten.

Folglich muss es irgendwo einen Punkt geben, an dem f(x)=x ist; davor (oder dahinter) ist dann f(x)>x und dahinter (oder davor) ist f(x)<x.

Ich hoffe, das war einigermassen verständlich... Aber jetzt müsste ich das noch in die richtige Sprache übersetzen können.

17.05.2008, 19:40

tigerbine

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RE: Monotonie
Ist denn von der Funktion, außer dass sie monoton Steigend ist nichts weiter angegeben? Stetig?

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17.05.2008, 19:44

Egon

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RE: Monotonie
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende stetige Funktion.

Das ist alles.

17.05.2008, 20:01

tigerbine

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RE: Monotonie
Stetig ist aber wichtig.^^ Hat dann so eine Funktion einen Fixpunkt? (Widerspruchsbeweis)

17.05.2008, 22:47

Egon

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RE: Monotonie
Ich habe jetzt nochmal in den Kursunterlagen gelesen und da einen "Trick" gefunden, der mir wahrscheinlich hier hilft: Wenn ich für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: [a,b]\to\mathbb{R}, x\to f(x)-x \end{eqnarray*}$ beweisen kann, dass sie eine Nullstelle hat, dann kann ich daraus dann folgern, dass es (mindestens) eine Stelle gibt, an der f(x)=x gilt.

Ich habe lange über einen möglichen Widerspruchsbeweis nachgedacht, aber keinen finden können. Hast du mir noch einen Tipp? Ich würde nämlich deinen Weg auch gerne ausprobieren und was dabei lernen.

Danke

17.05.2008, 23:08

tigerbine

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RE: Monotonie
Ich wollte im Grunde auch auf diesen Trick hinaus. Man nimmt eben an, dass es keinen Fixpunkt gibt und führt es dann zum Widerspruch (Zwischenwertsatz)

17.05.2008, 23:21

Mathespezialschüler

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Warum Widerspruch? Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ abbildet, ist $\begin{eqnarray*} f(a)\geq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)\leq b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g(a)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(b)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Der Zwischenwertsatz bringt sofort das Gewünschte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2008, 23:33

tigerbine

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Wir hatten das damals eben mit einem Widerspruchsbeweis gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2008, 23:34

Mathespezialschüler

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Ok, jeder so, wie er es am kompliziertesten mag. Big Laugh

Big Laugh

Aber ist ja letztendlich auch egal.

18.05.2008, 00:08

Egon

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RE: Monotonie
Aber mir kommt nach der ersten Anfangs-Euphorie ein weiteres Problem in den Sinn: Mit meinem Vorgehen beweise ich ja nur, *dass* es einen Fixpunkt gibt, aber noch nicht, dass dieser Fixpunkt tatsächlich der Grenzwert der Folge ist... Dazu werde ich wohl morgen nochmal überlegen.

Danke für die bisherigen Tipps! (Fortsetzung folgt)

18.05.2008, 00:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tigerbine
Stetig ist aber wichtig.

18.05.2008, 13:30

Egon

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Ich nehme an, dass das ein Hinweis an mich sein soll..?

18.05.2008, 13:33

Mathespezialschüler

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Ja. Du kannst zeigen, dass die Folge konvergieren muss. Lasse nun in

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen.

18.05.2008, 13:59

Egon

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Dass die Folge konvergieren muss, habe ich gezeigt (bzw. begründet, da sie monoton wachsend oder fallend ist und aufgrund der Funktionsdefinition beschränkt ist).

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$ bestimmen muss, dann ist das

(1) Die Folge (x_n) wächst monoton --> lim (x_n) ist die obere Schranke, also b
(2) Die Folge (x_n) fällt monoton --> lim (x_n) ist die untere Schranke, also a

Und jetzt?

18.05.2008, 17:47

Mathespezialschüler

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Was deine Aufzählung (1) und (2) bedeuten soll, verstehe ich nicht. Wenn du in der Gleichung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gehen lässt, dann musst du das aber auf beiden Seiten tun!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_n) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2008, 18:58

Egon

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Ich glaube, langsam verstehe ich...

Da f(x) monoton wachsend ist, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n)=b \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 20:14

Mathespezialschüler

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Nein, das ist leider total falsch - wie kommst du darauf?

Richtig ist: Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, gilt für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x:=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2008, 20:50

Egon

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unglücklich

Ich bin darauf gekommen, weil ja die Funktion monoton wächst, also der Funktionswert immer grösser wird (oder gleich bleibt). Da müsste er ja irgendwann bei der oberen Schranke ankommen.

Auf das, was du schreibst, wäre ich nie gekommen. Jetzt, da ich es lese, finde ich es aber extrem naheliegend.

18.05.2008, 20:57

Mathespezialschüler

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Wer sagt denn, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die kleinste obere Schranke ist? Ich verdeutliche dir mal, was deine Argumentation bedeutet, indem ich sie an einem konkreteren Beispiel durchführe. Dann wirst du sicher sehen, was falsch ist:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x_n=1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

ist monoton wachsend und nach oben beschränkt durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Somit konvergiert sie gegen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

So ungefähr war deine Argumentation - dir ist sicher jetzt auch klar, dass das falsch ist.

18.05.2008, 21:17

Egon

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Ja, das ist mir jetzt in der Tat klar. Ich muss mich noch an die Sprache und die Gepflogenheiten gewöhnen; und wahrscheinlich nicht nur an das...

Auf jeden Fall vielen Dank an dich und tigerbine für die Tipps & Geduld.

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