Grenzwerte von Funktionen

17.01.2006, 17:39

Master1709

Grenzwerte von Funktionen

Hallo, zusammen!

Habe folgende spannende Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 2} \lfloor x + (x - \lfloor x \rfloor)^{2} \rfloor \end{eqnarray*}$

So, heraus kommt der Wert 2. Meine Frage ... Wie begründe ich explizit, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 2} \lfloor x \rfloor = 2 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} \forall x < 2 \end{eqnarray*}$ wegen der Gaußklammer stets ein Wert $\begin{eqnarray*} < 2 \end{eqnarray*}$ herauskommt ...

Vielen Dank für eure Hilfe, Gruß Master Augenzwinkern

\\edit by mercany: Latex verbessert!

17.01.2006, 18:06

thoroh

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Geht es hier um den rechtsseitigen Grenzwert?
Dann geht es nur um die Funktionswerte mit x>2.

lg
thoroh

17.01.2006, 18:08

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab die aufgabe auch, es geht um den links-limes.
mfG 20

edit: alle eckigen klammern sind übrigens untere gaußklammern!

17.01.2006, 18:39

thoroh

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich von links an 2 annähert, dann betrachtet man nur die Funktionswerte für x<2. Dann gilt aber:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 2} \lfloor x \rfloor = 1 \end{eqnarray*}$

lg
thoroh

17.01.2006, 19:16

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

kann man da denn die grenzwertsätze benutzen?
mfG 20

17.01.2006, 19:54

thoroh

Auf diesen Beitrag antworten »

Überlegen wir:

Sei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow x_0} f(x) = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow x_0} b(x) = b \end{eqnarray*}$

D.h. Für alle gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergierenden Folgen, wo die Folgenglieder links von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen, konvergieren auch die Folgen der Funktionswerte gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$

Für eine beliebige gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergierende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ (mit Folgengliedern links von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) gilt:

$\begin{eqnarray*} h(x_n)=f(x_n)+g(x_n) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} a + b \end{eqnarray*}$ (Grenzwertsatz für Folgen)

Was denkst du?

lg
thoroh

17.01.2006, 19:59

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte von Funktionen

Zitat:

Original von Master1709
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 2} \lfloor x + (x - \lfloor x \rfloor)^{2} \rfloor \end{eqnarray*}$

aber hier ist die gaußklammer außen drum, da nützt mir das mit der summe doch nichts, oder?
mfg 20

17.01.2006, 20:29

thoroh

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du wohl recht. Da kommt man mit den bekannten Grenzwertsätzen nicht dazwischen.
Hab nur mehr den linksseitigen Limes im Kopf gehabt und die ursprüngliche Aufgabe aus den Augen verloren.

lg
thoroh

17.01.2006, 22:25

Master1709

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir vielleicht nochmal wer die Frage von 20_Cent beantworten?? Wie zeige ich, dass Lim [...] = [ Lim ... ] ist bei dieser Fkt., wobei mit [...] die untere Gaußklammer gemeint ist Augenzwinkern

17.01.2006, 22:40

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist denn das problem?

was ist der grenzwert von x-[x]? für x von unten gegen 2?
was ist das dann quadriert?
was ist das dann +2 und dann vom ganzen die gaußklammer?

einfach einsetzen

17.01.2006, 22:49

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte antworte noch jemand, sonst muss ich ja Jochen glauben. Teufel

mfG 20

17.01.2006, 22:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht als Tipp für ähnliche, vielleicht kompliziertere Fälle: Man substituiere $\begin{eqnarray*} x=2-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann entspricht der gesuchte Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon \searrow 0} \lfloor 2-\varepsilon + (2-\varepsilon - \lfloor 2-\varepsilon \rfloor)^{2} \rfloor \end{eqnarray*}$

(also ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , "wie es sich gehört" Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwerte von Funktionen

Verwandte Themen