Ungleichungen und Existenz von Integralen

17.01.2006, 19:29

PsychoCat

Ungleichungen und Existenz von Integralen

Ich habe noch zwei große Verständnislücken bei der Integration bezüglich eines Maßes, die auch irgendwie zusammenhängen.
Die erste wäre die Frage wie man die Existenz eines Integrals $\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~f(x)~d \mu \end{eqnarray*}$ sicherstellt bzw ausschließt. Kriterium dafür ist ja, dass die Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~f_+~d \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~f_i~d \mu \end{eqnarray*}$ oder alternativ das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~|f|~d \mu \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sind. Aber besonders bei letzterem wüsste ich nicht wie ich da ansetzen soll, dafür bräuchte ich dann irgendwelche Ungleichungen oder? Sowas wie $\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~f(x)~d \mu <= \mu (A) sup_A (f) \end{eqnarray*}$
Außerdem kenne ich noch die Cauchy-Schwarz- und Höder-Ungleichung für Integrale, die mir allerdings meistens nicht wirklich weiterhelfen. Gibt es da noch weitere "einfachere", die hier besser geeignet wären? Kommt natürlich dann auf die Situation an.

Um das mal an einem Beispiel zu verdeutlichen:
Wenn ich nachweisen will, dass $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}~f(x)*e^{-ikx} ~dx| \leq \int_{0}^{2\pi}~|f(x)|~dx \end{eqnarray*}$
(und damit < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) ist, wie kann man das sehen? Ein Ansatz, der mir einfallen würde, wäre $\begin{eqnarray*} e^{-ikx}\leq 1 \end{eqnarray*}$ auf dem gesamten Integrationsbereich.

17.01.2006, 19:30

20_Cent

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17.01.2006, 19:49

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RE: Ungleichungen und Existenz von Integralen

Zitat:

Original von PsychoCat
Wenn ich nachweisen will, dass $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}~f(x)*e^{-ikx} ~dx| \leq \int_{0}^{2\pi}~|f(x)|~dx \end{eqnarray*}$
(und damit < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) ist, wie kann man das sehen? Ein Ansatz, der mir einfallen würde, wäre $\begin{eqnarray*} e^{-ikx}\leq 1 \end{eqnarray*}$ auf dem gesamten Integrationsbereich.

Es ist sogar $\begin{eqnarray*} \left| e^{-ikx} \right|=1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ reell ist. Und dann folgt die Ungleichung einfach aus dem generell gültigen

$\begin{eqnarray*} \left| \int\limits_A ~ f(x) ~ \mathrm{d}x \right| \leq \int\limits_A ~ \left|f(x)\right| ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\; \mathbb{R} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

17.01.2006, 20:31

PsychoCat

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achja

danke bis dahin smile

Dann bleibt noch meine etwas allgemeinere Frage wie ich prinzipiell prüfe ob ein Integral existiert. Wenn ich eine Funktion f gegeben habe, dann kann ich irgendwie nichts mit |f| anfangen geschweigedenn berechnen ob das Integral davon endlich ist verwirrt

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