Fallunterscheidung beim Gleichungssystem

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidung beim Gleichungssystem
Hi,
ich hab noch ne Frage aus nem Lehrbuch:

Zitat:
Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems




Führe dazu eine vollständige Fallunterscheidung für die Parameter durch.


Das Gleichungssystem so allgemein zu lösen ist kein Problem. Ich hab allerdings noch nie was von Fallunterscheidung gehört, nur was davon gelesen. D. h. ja irgendwie, man soll für die Parameter unterscheiden, ob sie positiv, negativ oder = 0 sind oder sowas. Dann hätte man ja hier sehr viele Fälle (6! oder ähnliches). Das kann es also nicht sein, was hier gemeint ist. Könnt ihr mir vielleicht die Fallunterscheidungen nennen?
Danke euch.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidung beim Gleichungssystem
Hat keiner eine Idee dazu? Ist es unverständlich oder ist es zu einfach oder warum will mir keiner antworten? traurig traurig traurig
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ob positiv oder negativ ist egal...du musst nur unterscheiden, ob die Parameter 0 oder nicht sind...falls sie 0 sind, darfst du sie nämlich nicht dividieren Augenzwinkern

das ist halt ne Aufgabe die mit Fleiss verbunden ist Augenzwinkern

mfg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn aber z.B. a = 0 ist, dann ist doch folgendes gegeben:





Meinst du sowas? Wenn a, b, d oder e 0 ist, dann wäre aber nichts irgendwie mit teilen, denn dann hat man ja nur noch das Produkt by auf der einen Seite. Ist c oder f 0, dann muss man einfach ein wenig umformen, oder?
Soll ich bei einer vollständigen Fallunterscheidung dann auch unterscheiden, ob ein, zwei, drei, vier, fünf oder alle sechs Parameter 0 sind? Das wären dann, glaube ich, 62 Möglichkeiten, worauf ich allerdings nur durch Aufschreiben und anschließendes Zählen gekommen bin.
Vielleicht kannst du mir ja auch mal sagen, wie ich auf die Anzahl der Möglichkeiten komme. Danke.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Jetzt habe ich es selber rausbekommen:
Wenn man die Anzahlen der Möglichkeiten folgendermaßen addiert:

(Anzahl mit keinem Parameter 0) + (Anzahl mit 1 Parameter 0) + (Anzahl mit 2 Parametern 0) + (Anzahl mit 3 Parametern 0) + (Anzahl mit 4 Parametern 0) + (Anzahl mit 5 Parametern 0) + (Anzahl mit allen 6 Parametern 0)

dann komm ich in der obigen Reihenfolge auf:

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64

Die einzelnen Summanden entsprechen den Binomialkoeffizienten (Faktoren der Potenzen von a und b) im Pascalschen Dreieck bei



D.h. die Summe, die zu 64 führt, ist das gleiche wie:



Aber wie kommt man darauf?
Und dann natürlich noch meine eigentliche Frage: Soll ich der Aufgabenstellung nach alle 64 Möglichkeiten unterscheiden oder wie?

//EDIT by sommer87: bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen Augenzwinkern
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Vergraul dich mal nicht selbst! Augenzwinkern

Also erstmal fängst du an zu lösen, wie du es gewohnt bist. Und erst, wenn du durch eine Variable dividieren musst, musst du unterscheiden, ob diese gleich oder ungleich Null ist.

Du kannst mit einer Fallunterscheidung (a=0: Gl. tauschen, oder a ungleich 0: Gl. subtrahieren) das Gleichungssystem auf die Form
sx + s'y = m
ty = n
bringen, wobei s,s',t,m,n nur von den Koeffizienten a bis f abhängen. Und dann erst musst du unterscheiden, ob t gleich oder ungleich Null ist.

Ist t ungleich Null erhält man
sx=m',
Dann muss man noch unterscheiden, ob s gleich oder ungleich Null ist. Ist s gleich Null, muss man unterscheiden, ob m' gleich oder ungleich Null ist.

Ist t gleich Null, unterscheiden wir, ob n gleich oder ungleich Null ist.
Ist n ungleich Null, sind wir fertig.
Ist n gleich Null....

... hab ich mich auch grad vergrault...

*zähl*
Höchstens 14 Fälle. Es geht bestimmt auch kürzer, wenn man geschickt ist und nicht die Brute Force Methode wählt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich habe beide Gleichungen so umgeformt, dass in beiden nur noch eine der beiden Variablen vorkommt. Da habe ich dann folgendes:





jetzt werden ja die Faktoren von x und y genau dann 0, wenn b oder d 0 sind und a oder e 0 sind.

Dann hab ich ja dazustehen:





In diesem Fall ist die Lösungsmenge leer, wenn und gilt.
Aber ich kann ja nicht sagen, wenn b oder d 0 sind und a oder e 0 sind, dann ist die Lösungsmenge leer und in allen anderen Fällen ist die Lösungsmenge nicht leer, denn es kann ja für a, b, d und e von 0 verschiedene Einsetzungen geben für die gilt:



Soll ich dann allgemein sagen, wenn



und

und

, dann ist die Lösungsmenge leer? Wäre das richtig und der Aufgabenstellung, also einer Fallunterscheidung entsprechend?


Und unendlich viele Lösungen gibt es doch, wenn gilt:







Wäre das auch der Aufgabenstellung, also einer Fallunterscheidung entsprechend?
Oder stimmt das jetzt alles immernoch nicht mit der Aufgabenstellung überein?
 
 
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass du das Gleichungssystem ohne Fallunterscheidungen gar nicht auf deine schöne Form bringen kannst. Das habe ich (peinlich peinlich) auch erst gemerkt, als ich das Ding mal schnell durchrechnen wollte, um zu schauen, ob meine erste Antwort stimmt. Deshalb hab ich diese später nochmal editieren müssen.

Aber man kann es mit nur einer Fallunterscheidung auf die Form
sx + s'y = m
ty = n
bringen. Und dann geht halt das grosse Fallunterscheiden los... Mein Freund hat das gestern auch noch gerechnet und hat ebenfalls 14 Fälle gebraucht. Ich vermute, es geht nicht kompakter. Augenzwinkern

Vielleicht solltest dus erstmal mit einem etwas weniger umfangreichen Problem versuchen? (also weniger Parameter, z.B. wähl doch a=2 und e=3)
klamsch Auf diesen Beitrag antworten »

Warum überhaupt Fallunterscheidungen machen wollen?

man kann doch folgendes sagen:
Ist in einem linearen Gleichungssystem mit 2 Unbekannten ein Koeffizient 0, dann steht die Lösung einer Variable schon in der Angabe. Sind 2 Koeffizienten 0, dann hat man in der Angabe schon die Lösung für x und y stehen, weil es dann auf folgendes hinausläuft:

0*x + 3*y = 10 -> 3y = 10
3*x + 0*y = 5 -> 3x = 5

Natürlich kann es sein, dass keine Lösung existiert, wenn z.b. steht:

3x = 5
6x = 3

Dann wäre das Gleichungssystem überbestimmt, aber dann braucht man gar nicht erst losrechnen....

Aber egal, auch wenn man es allgemein durchrechnet braucht man (fast) keine Fallunterscheidung:

a*x + b*y = c | * d
d*x + e*y = f | * a
--------------------
a*d*x + b*d*y = c*d Subtrahieren
a*d*x + a*e*y = f*a

b*d*y - a*e*y = c*d - f*a herausheben

y * (b*d - a*e) = c*d - f*a hier durch (b*d - a*e) dividieren

hier wäre die einzige stelle, wo man unter umständen wegen einer division durch 0 eine Fallunterscheidung machen müsste. Aber wie man sieht, kommt im Ausdruck (b*d - a*e) jeder Koeffizient vor. Kritisch wirds nur, wenn die Koeffizienten in einer Reihe oder in einer Spalte 0 sind. Also wenn entweder b,a oder b,e oder d,a oder d,e = 0 ist. Aber wie vorher schon gesagt, ist das Gleichunssystem dann entweder unterbestimmt (a*x + b*y = c -> nicht eindeutig lösbar; außerdem wäre dann die andere Zeile 0 = f und wenn f ungleich 0 ist, wäre schon eine falsche Aussage in der Angabe enthalten) oder überbestimmt (z.B. Zeile 1: y=5 Zeile 2: y=6; natürlich können beide übereinstimmen, aber dann ist jegliches rechnen witzlos wenn in der Angabe 2x y=5 steht). Im allgemeinen ist das Gleichungssystem dann nicht mehr Lösbar. Sind alle Koeffizienten 0,dann ist das Gleichungssystem ebenfalls witzlos und wenn 2 Koeffizienten kreuzweise 0 sind, ist das kein Problem, denn dann ist der Ausdruck (b*d - a*e) ungleich 0. Oder b*d = a*e. Tritt dieser Fall ein, sind die Koeffizienten einer Zeile proportional zu einer anderen und es gibt unendlich viele Lösungen oder keine, je nachdem ob c auch proportional zu f ist oder nicht.

Resultat:

y = (c*d - f*a) / (b*d - a*e) der Zähler kann ruhig 0 sein

Also: Gleichungssystem bis daher allgemein durchrechnen. Dann hat man entweder eine Lösung, oder eine Division durch 0 und bei der braucht man dann nichts weiterverfolgen.

lg klamsch
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Irrlicht

Also ich habs so gemacht:



-------------------------------


------------------------------- Subtraktionsverfahren

------------------------------- Ausklammern


Das wäre dann erstmal eine Gleichung, in der nur y drin ist. Jetzt noch eine mit nur x:



-------------------------------


------------------------------- Subtraktionsverfahren

------------------------------- Ausklammern



Nun die beiden Gleichungen als ein Gleichungssystem ansehen:




Und jetzt muss ich doch erst eine Fallunterscheidung machen oder? So ähnlich wie klamsch gesagt hat, nur dass ich da noch nicht alles verstehe, aber ich lese es mir nochmal in Ruhe durch. Danke euch schonmal bis hierher!
klamsch Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Posting hab ich mich ein bisschen umständlich ausgedrückt.
Wenn du allgemein für x und y durchrechnest, kommst du auf die Ausdrücke, die du geschrieben hast.

y (bd - ae) = cd - af
x (ae - bd) = ce - bf

Wenn unter einer Lösung verstanden wird, dass sowohl x als auch y eindeutig bestimmbar ist, dann einfach die oberen Zeilen untersuchen, unter welchen Umständen die linke Klammerausdrücke 0 werden können. Die Fallunterscheidung ist also mit keinem Rechenaufwand verbunden.

lg klamsch

p.s. wo kann ich darüber nachlesen, wie ich Formelausdrücke hier so schön reinplatzieren kann.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich also die Aufgabe so lösen:

Für die Lösungsmenge gilt:

1. L = { }, wenn



und

oder

2. L ist Teilmenge von (unendlich viele lösungen in ), wenn



und

und

3.
, wenn



Wäre das dann die Fallunterscheidung und die Lösung für die Aufgabe?? Für mich wäre es logisch.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klamsch
Warum überhaupt Fallunterscheidungen machen wollen?

man kann doch folgendes sagen:
Ist in einem linearen Gleichungssystem mit 2 Unbekannten ein Koeffizient 0, dann steht die Lösung einer Variable schon in der Angabe.


Damit machst du aber bereits eine Fallunterscheidung, nämlich ob I. der Koeffizient gleich 0 ist, oder II. der Koeffizient ungleich 0 ist.

Zitat:

Aber egal, auch wenn man es allgemein durchrechnet braucht man (fast) keine Fallunterscheidung:

a*x + b*y = c | * d
d*x + e*y = f | * a
--------------------
a*d*x + b*d*y = c*d Subtrahieren
a*d*x + a*e*y = f*a


Die Multiplikation ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn a und d beide ungleich 0 sind! Allerdings ist jede Lösung des ersten Systems auch Lösung des zweiten, du verlierst also keine Lösungen, kriegst höchstens welche dazu.

Zitat:

y * (b*d - a*e) = c*d - f*a hier durch (b*d - a*e) dividieren

hier wäre die einzige stelle, wo man unter umständen wegen einer division durch 0 eine Fallunterscheidung machen müsste.


Das dachte ich anfangs auch - bis ich es durchgerechnet habe.

Zitat:

Kritisch wirds nur, wenn die Koeffizienten in einer Reihe oder in einer Spalte 0 sind. Also wenn entweder b,a oder b,e oder d,a oder d,e = 0 ist. Aber wie vorher schon gesagt, ist das Gleichunssystem dann entweder unterbestimmt (a*x + b*y = c -> nicht eindeutig lösbar; außerdem wäre dann die andere Zeile 0 = f und wenn f ungleich 0 ist, wäre schon eine falsche Aussage in der Angabe enthalten) oder überbestimmt
...


Und all diese Fälle müssen unterschieden werden! Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, geht es darum, das Gleichungssystem in jedem Fall zu lösen, und nicht nur zu schauen, wann es eindeutig lösbar ist und wie dann die Lösung aussieht.

Das heißt: Die Lösung dieser Aufgabe besteht in einer Angabe, unter welchen Bedingungen die Lösungsmenge des Gleichungssystems wie aussieht, so dass ich nur noch meine Koeffizienten in die Bedingungen einsetzen muss, um zu sehen, welche erfüllt ist, und in diesem Teilfall die Koeffizienten in die Lösungsformel einsetzen.

Und wenn da ein Fall wie

oder

auftritt, dann gehört der dazu.

Wie Irrlicht schon gesagt hat, eine komplette Fallunterscheidung besteht aus etwa einem Dutzend Fällen - plusminus eine Handvoll, je nachdem, wie man sie aufteilt.

Gruss,
SirJective
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und was bedeutet dieses Zeichen:



????
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein kleiner griechischer Buchstabe und heißt lambda.

Du kannst ihn gefahrlos z.B. durch t ersetzen.

Es ist üblich - aber nicht notwendig -, zur Vermeidung von Missverständnissen bei Lösungen, die mit lateinischen Buchstaben (a,b,...) geschriebene Parameter enthalten, zusätzliche Lösungsparameter mit griechischen Buchstaben(alpha, beta, gamma, lambda, mü, eta, ...) zu bezeichnen.
klamsch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Multiplikation ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn a und d beide ungleich 0 sind!


Warum das?
Nach der Multiplikation stimmt das ganze doch auch noch, auch wenn beide a und d gleich 0 wären. verwirrt

lg klamsch
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, denke ich nämlich auch, dass das nach der Multiplikation auch noch stimmt. Ich weiß auch nicht, warum ihr dann da nochmal extra aufschreiben wollt, wenn zwei Parameter 0 sind!?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

1 !=! 2 | *0

0 = 0

aus einer falschen Aussage eine richtige erhalten.
Folglich kann DAS keine "genau dann wenn Umformung" darstellen.

smile
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp, genau das hat SirJective gesagt:
Zitat:
Die Multiplikation ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn a und d beide ungleich 0 sind! Allerdings ist jede Lösung des ersten Systems auch Lösung des zweiten, du verlierst also keine Lösungen, kriegst höchstens welche dazu.


Danke, Poff. smile

Eine Lösung des umgeformten Systems sollte ja schliesslich auch eine Lösung des ursprünglichen Systems sein. Sonst lösen wir
x = 1
durch Multiplikation mit 0
0x = 0
und erhalten jede reelle Zahl x als Lösung. Aber die Lösung x=2 löst nicht die ursprüngliche Gleichung.
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