Ableitungen Beweise - Seite 3

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TB Auf diesen Beitrag antworten »

sry...lazarus, aber ich kann leider nich nachvollziehen, was du mir sagen willst, was ich falsch gemacht habe...die leibniz'sche schreibweise kann ich leider noch nich perfekt...wen ueberhaupt ansatzweise...

aba was is denn falsch? koennte ihr mir vllt zitieren, ;P danke Big Laugh
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »



Kettenregel beachten! Und schau Dir nochmals deinen Beitrag an und die Zeile in meinem letzten Post mit dem hoch null.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Verschiedenen Schreibweisen zu klären zeige ich mal kurz die geläufigen Schreibweise die mir auf die Schnelle einfallen (ohne den Anspruch auf Vollständigkeit!)




achja...^= geht so oder so oder so
TB Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, sry verstehe ncih genau,auf was du hinaus willst ^^ ist doch immer eins, oder? oder wird jetz beim cosinus ne ausnahme gemacht? ansonsten versteh ich ncih ganz...

und zu der kettenregel...das war doch das mit innere ableitung und aeußere ableitung, aber wo ist denn beim die innere und die´ äußere und die innere ableitung? etwa das aeußere die ^-1 und die innere das cos?

hmm also

so haette ich das verstanden, aber irgendwie fehlt mir uebeungn in den kettenregeln, quotieneten und produktregeln Big Laugh

ergänzungs-edit: (edit...das ^2 da rausgenommen beim sinus) (DIESER EDIT IS TROTZDEM FALSCH...lasse ihn ma stehen, damit man...evlt aus fehlern lernen kannLOL Hammer )


cool habs gerafft!

jetzt nohcma schoen aufgeschrieben:

(edit: auch falsch !"!)
phi Auf diesen Beitrag antworten »

ist immer eins, außer wenn a=0 . Wurde auch oben gesagt.

Bei der Kettenregel hast du richtig gedacht, aber wieso sin² ?

Anmerkung: Mit der Schreibweise usw. wäre ich eher vorsichtig, denn damit wird auch oft (z.B auf Taschenrechnern) der Arccos usw. bezeichnet... Da es hier klar ist, benutz ich es aber weiter.

?

Das stimmt.

Aber

, denn wie oben schon gesagt:





PS: Die Abkürzungen sec usw. sind doch sehr praktisch, wer jeden Tag mit Mathe arbeitet ist froh um jeden Bruchstrich weniger der geschrieben werden muss. Und wegen der oben angemerkten Gefahr der Verwechslung mit den Umkehrfunktionen sind diese Abkürzungen wohl eingeführt worden.

mfg, phi
TB Auf diesen Beitrag antworten »

oha

da habe ich echt was schlimmes gemacht, ja das stimmt ich habe aus versehen den cos^(-1) gleich den tan genommen, da war wohl etwas falsches von mir....anscheinend zu muede gewesen :P oha...ja danke dass du es geaendert hast...ich schreib mir bei jetz gleich nen edit dazu, dass es falsch ist...ok so wie du es da stehen hast, isses richtig...

und wie ich auf das sin²(x) gekommen bin, frag ich mcih auch grade, falsch isses auf jeden fal...omg :P

also is die ableitung des tan=cos^(-2)(x) oder?

oder habe ich selbst das falsch zurueckgeformt...:P
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hat phi schon bestätigt Augenzwinkern

Zitat:
Original von phi



Und zu sec und csc: Ich glaube, dass man einfach für jedes Verhältnis in diesem besagten Dreieck eine Funktion definiert hat! Und da gibt es 6 mögliche Kombinationen...

Wobei ich ehrlich gesagt ach kaum je diese Bezeichnungen verwendet hab.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ok mom: dann noch ma lieber von vorne, damit es nich falshc am ende rueberkommt...also komplett von vorne:



ok warum ist bei mir dann noch so ein "1+" davor? habe ich wieder irgendwo was falsch gemacht...

die prodktreegl, war doch, ableitung des ersten produkts"mal"unabgeleitet.zweites produkt, addiert mit der ableitung des zweiten produkts mal die unabgeleitete version des ersten produkts...ich hoffe es is verstaendlich :P...und dann is doch :


und das wird doch mit multiliziert, und das wird dann doch mit der potenzregel zu

oder habe ich was falsch...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Produktregel: (fg)'=f'g+fg'

Die erste Hälfte hast du richtig, die 1 gehört da hin, aber wo ist das f=sin geblieben . Und oben hattest du doch schon die richtige Ableitung für 1/cos . Auch da ist ein sin abhanden gekommen.


mfg, phi
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ohmann
zu plött um richtig abzuschrieben unglücklich ((

ohoah...da is mir ein schuss zu kmpliziert unglücklich

also lieber mal alle schritt von vorn:



I. Ableitung des ersten Produkts [also von sin(x)]



II. Ableitung des zweiten Produkts [also von cos(x)^(-1)] Kettenregel: h(i(x))=h'(x)i(x)*i'(x)



Beides in die Produktregel hineinfuegen. f'=g'h+gh'





ich merke schon, irgendwie habe ich irgendwo was falsch gemacht, aba ich kann nich genau sehn wo...unglücklich

edit: wenn schon dennschon, mir ist noch ein schritt eingefallen zur verschönerung


jetz hab ich schon ein beseres gefuehl, weils doch irgendwo schon oben steht, oder? verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

warum nehmt ihr eigentlich die produktregel mit cos^-1?
was spricht denn gegen die Quotienteregel?





und nun entweder oben die trigonometrische 1 erkennen oder auseinanderziehen und kürzen gibt die beiden häufigsten Darstellungen




edit: geändert, danke phi, natürlich isses nicht die Kettenregel Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Und da wir den

Zitat:
Original von Frooke
Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion:

Sei bijektiv und die Umkehrfunktion von f[...]


schon bewiesen haben, kann man nun auch unmittelbar alle zyklometrischen Funktionen differenzieren (wobei da z.T. mit Randstellen etwas vorsichtig umgegangen werden muss...)

@TB: Kannst Dich ja mal damit versuchen:








PS: Wegen der Kettenregel ist der Reziprokensatz auch schon bewiesen (und damit musst Du nur drei der eben genannten Funktionen über den Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion differenzieren. Die anderen Folgen dann aus dem Reziprokensatz. Ist also gar nicht so umständlich...
TB Auf diesen Beitrag antworten »

wir muessen doch erst einmal definieren was das ist? sprich, wir muessen das doch erst mal kurz erklaern (so fuer mich Augenzwinkern ) was das eigtl ist...

weil ich wuerde jetz einfach so raten, dass es einfach z.b.

arcsin = sin^(-1) ist... aber das weiß ich ja leider nich mehr so genau Big Laugh

und warum nich lieber erst ganz normal

scs, sec und cot abzuleiten und dann auf die jeweiligen umkehrfunktionen zurureckzukommen? Big Laugh Big Laugh Big Laugh
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Über diese Schreibweisen wurde schon mehrfach diskutiert im Board. Eigentlich ist

Ich bin ein Anhänger dieser Schreibweise, denn wer folgende Schreibweise benutzt...

...müsste konsequenterweise auch

verwenden. Trotzdem sind gerade auf Taschenrechnern die Arcusfunktionen oft wie im zweiten Beispiel beschriftet. Aber lassen wir das. Die zyklometrischen Funktionen (oder Arcus- oder Bogenfunktionen) sind nicht die Kehrwert-, sondern die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

Aber machen wir mal eine Tabelle mit den trig. Funktionen:







Wenn ich jetzt den Reziprokensatz nochmals aufschreibe:



Verwende nun diesen Satz um den cot, den sec und den csc abzuleiten. Die Arcusfunktionen machen wir später... Augenzwinkern
TB Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...also bis auf den cot is das doch ziemlich einfach, wenn es denn richtig sein sollte:





so sollte es nach deinem reziprokensatz aussehen.

und fuer den cot finde ich es schon etwas komplizierter...irgendwie schaff ich es nich einfach aussehen zu lassen
ich probiers ueber die produktregel, die andere mir zu kompliziert.



das waere der erste schritt...hmm die ableitung vom zweiten summanden:



und jetz einfuegen:



hmm....
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

Stimmt bei dir bis auf Vorzeichen

Stimmt..


(zur Kontrolle)

mfg, phi
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ok
dann poste ich meine zwischenschritte...hoffe es is ncih wiedr falsch, wie vorher beim tan











kann mir jmd helfen, was genau dran falsch ist? weil ih komm irgendwie nich drauf...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist gar nicht falsch. Betrachte es so, und bilde mal den Hauptnenner:




zur Übung, versuchs mal wie LOED vorgeschlagen hat, mit Kettenregel.


mfg
TB Auf diesen Beitrag antworten »

der gemeinsame nenner waere dann:



ok dann hat mri ja eigtl nur noch ein schritt gefehlt ^^

und jetz ueber die kettenregel



und jetz die kettenregel





verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Vergesst jeweils das Funktionsargument nicht. Man versteht das zwar, aber eigentlich hat oder alleine keine Bedeutung. Augenzwinkern
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir schon klar, aber ich bin nur zu faul fuer das Augenzwinkern
ich hoffe, man weiß auch so, was da hingehoert^^

ok, also das haben wir ja erfolgreich geschafft Augenzwinkern

wie siehts denn jetz mit den arcus-funktionen aus? sollte das nicht als naechstes kommen? weil dafuer fehlt ja noch halb die definition....also wir haben geklaert, dass:



ist.

wie sieht das denn sonst aus, oder bzw, wie wagt man sich denn da heran?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion:

Sei bijektiv und die Umkehrfunktion von f[...]


Es gibt auch die Schreibweise für die Umkehrfunktionen f quer, also . Ich benutze jetzt diese, weil die -1 Geschichte etwas mühsam ist bei trig. Funktionen Augenzwinkern .

Schau Dir mal den oben genannten Satz an, dann definierst Du einfach




usw. Der Rest ist dann eigentlich einsetzen und umformen...
TB Auf diesen Beitrag antworten »

sorry...das war mir jetz einen schritt zu shcnell...

is das jetz ^-1 oder isses nich? (sry, wenn ich so grob frage...)
und das mit dem f quer...und dem bijektiven...das is auch noch ein wenig schnell...^^
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne auf Details einzugehen (das geschah ein paar Seiten früher):

Ist eine Funktion (die den auch schon genannten Voraussetzungen genügt (also Stetigkeit und Differenzierbarkeit)), dann schreiben wir für die Umkehrfunktion oder (wobei sich letzteres bei trigonometrischen Funktionen anbietet, um Missverständnisse zu vermeiden).

Und es ist

(1)

Am Beispiel des Sinus:





Einsetzen in (1) ergibt:



Umformen ergibt:



Da wir aber eine Funktion mit dem Argument y untersuchen, wollen wir x ersetzen. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten:

1. (nicht geläufig!!!)


2. (geläufig und auch eleganter!)

Wegen

Und siehe oben, also gilt:



oder in gewohnter Schreibweise mit x



Kannst es ja mal für den Arcuscosinus versuchen!

Übrigens. Dabei wurden Def.bereich usw. noch nicht analysiert!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TB
und jetz die kettenregel




Ist übrigens nicht die Ketten- sondern die QUOTIENTEN-Regel. Dafür aber richtig angewandt. smile

mfg
TB Auf diesen Beitrag antworten »

@ phi: irgendwo weiter oben, stand, dass sei die kettenregel...habe mich einfach nur hintendrangestellt und es uebernommen ^^
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, naja, sogar ein LOED verwechselt mal etwas. Wobei die Quotientenregel schon ein Speziallfall, bzw. Anwendung der Kettenregel ist.

Zitat:
Original von LOED

was spricht denn gegen die kettenregel?
...




mfg
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

...und auch umgekehrt Big Laugh
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

habs geändert, danke phi smile
da hat mich wohl der Teufel geritten, oder der Satz von Rolle..... *hehe*

bin eben Meister der Analysis-Fachausdrücke...


ich wollte nur mal insgesamt feststellen, dass
Zitat:
ich probiers ueber die produktregel, die andere mir zu kompliziert.

meines Erachtens sowas von verkehrte Ansicht ist.....
und die Quotientenregel doch oftmals sooo schön viel einfacher ist als diese Verkettung von Kettenregel (^(-1)) und Produktregel......

naja.....

Liebgruß
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
meines Erachtens sowas von verkehrte Ansicht ist.....
und die Quotientenregel doch oftmals sooo schön viel einfacher ist als diese Verkettung von Kettenregel (^(-1)) und Produktregel......


smile Langsam wird's viel-o-sophisch... smile

Solange alles bewiesen ist Augenzwinkern .

Ach LOED: Dürfte man das als wichtig oder so einstufen, damit es nicht immer runterrutscht. Evtl. wird daraus ja mal ein Workshop...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

*wichtig*

wofür bist denn Mod, Mike?
nächstes Mal darfst du das selbst "wichtig" machen....... wirst schon nicht gegessen dafür, ist auf jeden Fall ein interessanter Thread für Leute, die sowas mögen, kann man ruhig mal nach außen präsentieren, Workshop nicht unbedingt, Zusammenfassung und Spieleecke ja smile
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
präsentieren, Workshop nicht unbedingt, Zusammenfassung und Spieleecke ja smile


Danke Jochen! Spieleecke und Zusammenfassung trifft's wohl am besten...

Workshop meint ich auch nur, nach dem sozusagen mit dem Sieb des LOEDestenes das Un- vom Brauchbaren getrennt wurde... aber dahin wäre/ist es noch ein weiter weg! Dankeschön
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ARGH!

sry...ich schreib morgen meine mathe.klausur und darf nun alles gerlernt zur pruefung stelen...deswgn konnte ich die letze zeit nichts posten...und die naechsten tage siehts auch schlecht aus...aba warum denn immer auf mich Augenzwinkern ihr koenntet doch auch ma teile machen ; )

:P

Big Laugh lg
TB Auf diesen Beitrag antworten »

wollte mal kurz was ergaenzen, weil mir auffiel, dass das noch nirgendwo steht

es gibt zwei bekannte methoden die ableitung zu bestimmen

x und h-methode

x-methode



h-methode
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Stand schonmal hier Augenzwinkern
Alles nur verschiedene Schreibweisen.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

oha! sry...

dann war ich wohl zu faul um weiter hinten noma zu schaun ^^

aba jetz isses dann schoen benannt, wie die dinger auch heißen Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wurde zwar schon diskutiert, aber ob man die Dinger echt «Methode» nennen sollte... Und die beiden Schreibweisen sind äquivalent smile

Setze mal oben smile

EDIT: Ich mach noch den arccos:





Fehlen sonst eigentlich noch spezielle Funktionen (mal abgesehen von den Exponentialen)?
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe heute mal in der formelsammlung geschaut...da sind noch so sachen wie

ln(x) oder a^x aba das ueberschreitet meine kenntnisse...ich hab grad mal 3 regeln mit meinem lehrer gelernt ^^

edit:@frooke...das sie äquivalent sind, weiß ich...trotzdem finde ich es bemerkenswert, dass sie in der vorgehensweise sich sehr stark unterscheiden...beim einen versuchst du zu kuerzen (h-methode) und beim andere auf einen moeglichst einfache wegkuerzbare form zu bringen...binomische formel...polynomdivision...etc^^
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TB
edit:@frooke...das sie äquivalent sind, weiß ich...trotzdem finde ich es bemerkenswert, dass sie in der vorgehensweise sich sehr stark unterscheiden...beim einen versuchst du zu kuerzen (h-methode) und beim andere auf einen moeglichst einfache wegkuerzbare form zu bringen...binomische formel...polynomdivision...etc^^


Da hast Du sehr recht! Gute Bemerkung!

Das Ding mit ln(x) und a^x steht und fällt mit der Definition von e...

Deshalb werf ich das einfach mal so in den Raum:



es ist ja ein Thread: «Ableitungen Beweise» und nicht. Euler'sche Zahl!

Ich muss jetzt weg, mach aber heute nochwas rein hier!

EDIT:
Man kann auch zeigen:







Wende den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion an, um exp(x) abzuleiten Augenzwinkern ... (sowie bei den zyklometrischen Funktionen...)

EDIT: Um das Bezeichnungskrimskrams bei Umkehrfunktionen zu vermeiden, definiere ich einfach eine Funktion höherer Ordnung mit



und schreibe dann



Big Laugh Big Laugh Big Laugh
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Wende den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion an, um exp(x) abzuleiten Augenzwinkern ... (sowie bei den zyklometrischen Funktionen...)


Ich mach das grad Augenzwinkern :





Also sind alle Funktionen der Form: mit ihren Ableitungsfunktionen identisch!

Da fällt mir noch ein: Die Faktorregel ist noch nicht bewiesen:





EDIT: Und die konstante Funktion auch nicht Big Laugh :


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