Ableitungen Beweise

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TB Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen Beweise
Hi Math-folks!

Bin ein 11-te KlasseSchueler im Mathe-GK. Machen selbstverstaendlich gerade Analysis und als Untertheme Ableitungen. Meine Frage an euch Mehrwissenden:
Mein Lehrer verlangt eigenartigerweise von uns, dass wir auch beweisen, dass wir die Ableitungen richtig bestimmen. Viele Rechenwege und Regeln hatten wir noch nciht, wir koennen uns eigtl denken, was da hinkommt, aber wir koennen es nicht wirklich beweisen.
Ich habe jetz im Forum gesucht, und bisher nur die Regeln an sich gefunden, nicht aber, warum sie auch so sind, und wie man sie beweist. Ich wuerde evtl auch einen Ansatz machen, um auch Lernfortschritte fuer den Matheunterricht zu verzeichnen, aber waere das moeglich, wenn wir hier mehr oder weniger gemeinsam die Beweise aller Ableitungen erarbeiten koennten, und irgendwo einbauen? Weil das ist eigentlich ein interessanter Bestandteil der Mathematik, dass zu beweisen, was man als richtig glaubt. Evlt kann man ja Beweise fuer alle Themen einrichten, nciht nur fuer die Analysis. Hoffe, das laesst sich irgendwie umsetzen. Danke!
-felix- Auf diesen Beitrag antworten »

schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ableitungsr...bleitungsregeln
Wenn du auf die einzelne Regel draufklickst kommt eine nähere Erläuterung samt Beweis.
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bevor der nick nicht geändert wurde, bekommst du keine hilfe, "thainutte"
ich habe dir deswegen eine pn geschickt, das geht nicht

böse

*vorläufig geschlossen*
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe den nick geändert
es lag keine böse absicht des users TB vor, mit seinem vorigen nick irgendwelche leute zu ärgern, der nick hat wohl eine lange geschichte.

nichtsdestotrotz heißt du jetzt TB und kannst dich gerne mal hier vorstellen.
*wieder geöffnet*
das Thema ist damit wieder offen und ich pushe gleich mal mit diesem post, um es wieder nach vorne zu holen.

mfg jochen
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Musst Du ganz allgemein Ableitungsregeln beweisen (via Grenzwert) oder sollst Du an einem konkreten Beispiel unter Benutzung des Grenzwertes alleine die Ableitungsfunktion finden?

Vielleicht interssiert dich das hier! Da wird gezeigt, wie man die Potenzregel beweisen, und bis auf die rationalen Zahlen (im Ansatz auch bis auf die reellen Zahlen) ausweiten kann. Das wär schon was.

Bei anderen Voraussetzungen musst Du es über den binomischen Lehrsatz machen!

Für die Produkteregel: Die kann man am Grenzwert selbst beweisen. Die Kettenregel auch, und die Kombination der Ketten- und Produkteregel lässt sich dazu benutzen, die Quotientenregel zu beweisen. Auch den Reziprokensatz geht dann von alleine Augenzwinkern .

Du musst halt mal sagen, was Du vorerst anschauen möchtest! Lg

EDIT: Falls es um die Erstellung eines Workshops geht, kannst Du ja mal Ansätze wagen und wir helfen Dir dann!
TB Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kann ja einmal einfach mal die Summenregel beweisen. Sollte noch sitzen.
Hoffe selbst, dass von mir auch noch ergaenzugen folgen. das mit dem workshop habeich ncih ganz verstanden, wie genau ich da vorgehn sollte, aber ich denke, das hoert sich sehr interessant an Big Laugh
Gegeben:


was zu beweisen ist:


man stell also ganz normal nach dem Differenzenquotienten die Ableitungen von den Funktionen u und v auf.



Faktorisieren vom Limes, und das "auf den gleichen Nenner bringen" ist nun der naechste Schritt



Spätestens hier sollte man merken, dass ein Teil vom Zaehler, die schon vorgegebne Funktion ist. Der Rest ist einfach dieselbe Funktion, nur fuer den bestimmten Punkt
sprich:




Nun hat man das heraus, was man beweisen sollte.

Quod era demonstradum smile ))))))))))))))
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TB
Quod era demonstradum


Wenn schon, dann richtig:
Quod erat demonstrandum.

edit: sorry, hab den ganzen thread missverstanden...
mfg 20
TB Auf diesen Beitrag antworten »

das sind doch keine loesungen ... das is der allg beweis fuer die summenregel.
ich hab doch gedacht, ich sollt hier irgendwas in form von nem workshop machen...und hab ja gar keine ahnugn,was gemeint ist. was genau is denn jetz gemeint? geht auch in kurzform. aber wenn ich da in diese richtung hat was machen soll , dann soltl ich doch wissen, was , oder ?! ^^

naja...hatte nie latein. aba danke Augenzwinkern ich armer kleienr muss noch viel lernen ^^

ok hoffe, es kommt noch was in hinsicht des workshops hin....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Außerdem:
ich hab mir das jetzt nicht durchgelesen, sieht aber nach zuviel aus... Bitte keine Lösungen posten!
mfg 20

is doch sein thread, oli Augenzwinkern
und seine anfrage *lol*

da sind lösungen etc. willkommen


@thin di (oder wie das war):
schau mal ganz oben in jedem forum, da gibts jeweils "verzeichnisse", da stehen die ganzen workshops drin

das mit dem workshop war ja auch nur eine idee.....
TB Auf diesen Beitrag antworten »

sry ich find das nicht...
wo genau?
verzeichnisse?

ich bin voellig desorientiert...zum glueck setzt die mathematik das nicht voraus...:P
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

[Analysis] - [Verzeichnis]
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja machen wir denn jetzt hier so eine Beweissammlung oder lieber nicht? Wenn Interesse da ist, kann ich schon mal etwas vorschlagen!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mike, hallo TB,

machts doch einfach; wenn es strukturiert und vollständig ist, kann man es weiterverwenden (als workshop, als was auch immer)
wenn es eher ein chaotisches durcheinandere wird, dann habt ihr auch nix verloren, beim beweisen vermutlich trotzdem, etwas gelernt

also fangt einfach mal an, hier zusammenzutragen, abspalten und zusammenschneiden kann man das ja später immer noch
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED:

Man kann bei Bedarf ja die Beweise auch bei Wikipedia nachschauen. Für mich persönlich ist also nicht unbedingt das Interesse für einen Workshop da (denn da wäre auch das Zielpublikum wohl nicht so gross, weil Schüler ich ja oft nicht für Beweise interessieren!) Wenn Du als Organisator das aber wünschenswert findest, könnte ich mich darum kümmern!

@TB: Falls Du mit unserer Hilfe einen Workshop starten willst, so können wir das selbstverständlich anschauen. Wenn Dir aber Wiki ausreicht kannst Du ja einfach im Rahmen eines normalen Threads allfällige Verständnisfragen stellen.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass sich schon Publikum finden wird. Das was hier schon als Link gegebn ist, ist nicht unbedingt vollstaendig. wie gesagt, es fehlen auch da die beweise.
Natuerlich interessiert man sich als schueler kaum fuer die Beweisfuehrung, aber in naher zukunft wird es immer wieder schueler geben, die da was in die richtung hin, machen werden. Und dann koentne man doch theoretisch etwas machen, und es im Workshop eintragen, um das Suchen erleichten (fuer die naechsten jahre und so...)

Ich wuerde wie vorgeschlagen, hier ienfahc ma einiges machen, und dann wie gesagt, spädda zusammenschneiden ^^

einen teil hab ich ja schon reingebracht ^^
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, also gut! Wie gesagt: Wenn Du das wünschst, kann ich gerne mithelfen Augenzwinkern ...

Ich mach auch mal einen Versuch zum Summenregelbeweis (nicht, dass bei Dir was daneben wäre, aber es scheint mir etwas umständlich Augenzwinkern )

(Irgendwie scheint mir das sehr einfach (zu einfach), aber da sind vermutlich mathematische Unreinheiten...Augenzwinkern )

Sei .
f, a und b sind auf einem Intervall I stetig und differenzierbar. Dann ist




EDIT:


Hey LOED: Bitte auf Korretheit prüfen...

EDIT: «» weggemacht (aus kosmetischen Gründen Big Laugh )
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

dieser "gilt genau dann wenn.."-Pfeil ist überflüssig und eigentlich auch nicht ganz korrekt.
ordne die summanden im zähler des zweiten bruchs einfach neu, und teile den bruch dann auf, wende die grenzwertregeln an und fertig
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, könnt ich. Aber da ich ja nichts an der Sache geändert hab (ausser die Anwendung eines Grenzwertsatzes und der Umstellung) ist der Pfeil zwar vielleicht überflüssig, aber korrekt ist er meiner Meinung nach trotzdem… f'(x)= blabla ist äquivalent zu f'(x)=blablabla, wenn die beiden Aussagen wahr sind... Oder was ist daran genau nicht korrekt verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmm, vielleicht schöne wäre es einfach als gleichungskette
f'(x)=........ = ......= a'(x)+b'(x), was hier ja ohne weiteres "drin ist"

wendest natürlich einfach einen grenzwertsatz an Augenzwinkern

achja: warum stören sich immer alle, wenn was mal einfach ist?
freu dich doch lieber ^^
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank LOED! Dann also munter weiter Big Laugh

Machen wir uns also mal an die Kettenregel ran:

Sei (Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf einem bestimmten Intervall werden vorausgesetzt)...

Hinweis: Im Workshop (falls es denn mal soweit kommen sollte, müsste man grad am Anfang klarstellen, dass man «nette Funktionen» meint (also Stetigkeit und Diffbarkeit grad überall voraussetzen...) Augenzwinkern )

Dann ist


EDIT: Für diese Erweiterung muss gelten ... (danke MSS)





Da für , gilt:



Mir scheint diese letzte Grenwertsubstitution schwammig. Irgendwie muss sie ja was richtiges an sich haben, wäre aber froh um etwas genaueres...
TB Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...scheint alles sehr logisch zu klingen ^^

aber ich hab da ne frage zum letzen schritt...
du veraenderst, das h->0, in dem du es durch b(x+h)->b(x) laufen laesst...ist das denn so erlaubt?
ich denke ma schon. aber auch wenn du dann im folgenden schritt, dann genau diese limes machst, wuerde dann nicht auch im nenner dann 0 heraus kommen?

und eine eigtl dumem frage: du ersetzt a'(b), indem du dann a'(b(x)) einsetzt. das isr nur so geschrieben worden, damit man eine allg loesung der fkt heraushat? und es einfach dann uebersichtlicher wird, was man allg machen muss?

oder ist das so...(ich vermute grade, ich habe es richtig verstanden...)
du ersetzt, einfach dass im nenner, der erste teil der subtraktion und der zweite teil immer limitiert werden (erste teil laeuft ggn 2ten teil). Und da das dann sozusagen, in dieser form die ableitung fuer die Funktion a(x) ist, wobei man bedenken sollte, dass x in diesem falle: x=b(x+h), deswgn a(b(x+h)) ist, man das rueckwaerst wieder aufschreibt, und dann sozusagen die ableitung der funktion f, gleich der ableitung der funktion a(b(x)) multipliziert mit der ableitung der funktion b ist...
ich glaube ich habe es verstanden, aber ich habe mich nur falsch ausgedrueckt. Koennt ihr mir vllt helfen, zu sagen, was ich mathematisch falsch ausgedrueckt habe? Mein Lehrer ist in letzter zeit ziemlich pingelig in dieser hinsicht...^^

Vielen Dank schonma...

Edit: noch ne frage. den schritt der erweiterung ist der wichtigste. Wie ist man denn drauf gekommen das man genau mit dem term der inneren Ableitung erweitern muss? ich kann doch nich sagen, ich tu das, weil am ende dann das richtieg ergebnis rauskommt...und noch ne frage
f(x)=a(b(x))
b(x) nennt man innere ableitung (wenn davon die ableitung bestimmt wird)
und a(b(x) die aeußere ableitung?

und dann noch vllt ne allg ergaenzung:



gilt:



(dabei geht man doch so vor, dass man zuerst den innersten Teil der Abletiung bestimmt und den dann immer wieder einsetzt, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke


[...]
EDIT: «» weggemacht (aus kosmetischen Gründen Big Laugh )

ich kosmetisiere noch weiter:



insbesondere habe ich auch noch die : vor den gleich weggemacht, denn das definierst ja nicht als a', sondern das IST a'(x).......




edit: zum anderen
Zitat:
du veraenderst, das h->0, in dem du es durch b(x+h)->b(x) laufen laesst...ist das denn so erlaubt?

das frage ich mich auch, aber irgendwie hat es stil Augenzwinkern
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

scheint erlaubt zu sein, steht nämlich in meinem Mathebuch genau so drin.
der Beweis für die Kettenregel geht zwar noch viiiiiiiel einfacher, aber so wie Frooke ihn gemacht hat, sieht es einfach kunstvoller aus. Big Laugh
TB Auf diesen Beitrag antworten »

kansnt du vllt deinen beweis machen? evtl is das auch einfacher zu verstehn, auch wenns ncih so kunstvoll ist. waere nett ^^

und ok...wenn der limes so veraendert werden darf, laut mathebuch, solls so sein, wir haben den grenzwert nich so ausfueherlich gemacht, das zum bsp mit faktorisieren von lim habsch z.b. nich gewusst, oder ...

man lernt viel, ohne buehcer in diesem forum ^^
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es dir im Grunde auch ganz einfach über die Leibniz'schen Schreibweise erklären.

Sei und





Gruß, mercany
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

den Beweis hab ich aus dem Thread Beweis der Kettenregel

z=g[f(x)] , y=f(x)

Beweis:




das in einer anderen Schreibweise:


\\edit: mercany war wieder mal schneller....
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

wobei dz/dy ja nur ein abkürzung ist für


somit isses auch nur eine kosmetische veränderung Augenzwinkern

servus
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Naja als direkte "Abkürzung" sehe ich das nicht an!

Ist halt nur eine andere Art von Schreibweise. Wenn du vorher alles richtig definierst ist es aber vollkommen legitim.



Gruß, mercany
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
ich kosmetisiere noch weiter:



insbesondere habe ich auch noch die : vor den gleich weggemacht, denn das definierst ja nicht als a', sondern das IST a'(x).......


@Jochen: Da stand aber nicht «:=» sondern «=:» und das bedeutet ist definitionsgemäss gleich Augenzwinkern ... (wobei ich zugeben muss, dass es auf diese Doppelpunkte auch nicht mehr ankommt...)


Zitat:
Original von LOED
das frage ich mich auch, aber irgendwie hat es stil Augenzwinkern


Big Laugh Danke! Big Laugh ... Ich hoffe mal, dass sich da noch eine berichtigende oder zumindest bestätigende Instanz melden wird... Augenzwinkern

@mercany! Das was Du da aufschreibst ist natürlich sehr anschaulich und gut! Man sollte das auf jeden Fall auch in den Workshop integrieren, wobei die Betrachtungen am Grenzwert auch dort stehen sollten (der Vollständigkeit halber...)

EDIT: Kosmetik Augenzwinkern (aber diesmal layouterisch...)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich in dem anderen Thread bereits gesagt habe, sind beide Beweise, sowohl der von Frooke als auch der von mercany und MrPSI, nicht vollständig. Dass MrPSIs Beweis einfacher ist, ist auch nicht richtig. Er ist nur einfacher aufgeschrieben. Allerdings muss man natürlich vorher die Differentiale exakt definieren. Das zusammen macht den Beweis genausolang wie Frookes. Wie gesagt, fehlt aber noch die Fallunterscheidung.
Im Übrigen ist der Übergang korrekt, da stetig in ist.

Gruß MSS
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

@Max

Deshalb hatte ich ja auch extra gesagt:
Zitat:
Original von mercany
Wenn du vorher alles richtig definierst ist es aber vollkommen legitim.



Gruß, Jan


PS: Du bist! smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Falls ist, funktioniert dein Beweis aber trotzdem nicht.

Gruß MSS
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Falls ist, funktioniert dein Beweis aber trotzdem nicht.

Gruß MSS


Klar, halt das selbe Problem wie beim Diff'quotienten!
Müsste Mike das aber nicht auch bei sich im Beweis einschränken?



Gruß, mercany
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich müsste er.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wie ich in dem anderen Thread bereits gesagt habe, sind beide Beweise, sowohl der von Frooke als auch der von mercany und MrPSI, nicht vollständig.


Gruß MSS
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja gut! Big Laugh

Dank dir....
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Hey MSS und mercany! Danke für die Hinweise! Ich habe dort ein Edit eingefügt!

Ich mach jetzt mal mit der Produkteregel weiter. Dort habe ich eine Erweiterung mit + - vorgesehen, sollte also keine Probleme bieten Augenzwinkern !

Sei also (Stetigkeit und Diff.barkeit werden erneut vorausgesetzt... Und das gilt von nun bis zum Ende des Threads Augenzwinkern )











Wie TB bereits erwähnt hat, lässt sich das natürlich auch auf Mehrfachprodukte anwenden:



Es gilt:



JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie TB bereits erwähnt hat, lässt sich das natürlich auch auf Mehrfachprodukte anwenden:

das zeigst du dann aber am besten mit vollständiger induktion! nicht mit beispiel mit 3 faktoren, denn das steht nicht für alle mehrfachprodukte Augenzwinkern

das habe ich auch mindestens einmal schon im board gemacht, wenn du zu faul zum selbstbeweis bist, einfach suchen ^^

(edit: ich finds aber selbst nimmer, aber der beweis ist an sich sehr leicht, aber jetzt schreib ichs hier nicht auf, muss jetzt schicht an einer wahlurne schieben)
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar. Am Beispiel mit 3 zeigt sich einfach das Induktive verhalten... Es ist mir schon klar, dass das nicht als Beweis für alle n-fach Produkte ausreicht Big Laugh ...

Stimmt der Rest verwirrt

PS: Wäre schon froh, wenn ich nicht grad alles beweisen müsste - suche also mal Augenzwinkern


Hab nichts gefunden: Widmen wir uns mal dem nächsten Ding Augenzwinkern , bin grad in Laune:

Sei



Dann ist











Nun ist die Potenzregel für alle natürlichen Zahlen bewiesen!

Um diese Regel auf weitere Zahlenmengen auszuweiten, benötigen wir zunächst die Quotientenregel. Die kommt also als nächste dran..

EDIT:

Quotientenregel:

Sei also



Ich schreib's hier etwas weniger detailliert auf, weil die Erweiterungen analog zu denjenigen der Produkteregel getätigt werden...

Wir haben also





Die Ausweitung mach ich später...
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab ne ergaenzung zu der Potenzregel. weil ich hab das bissl anderes hinbekommen, und das ist nich mit dieser sache wo in der klamemr, das n ueber einer Zahl steht...(hatten wir noch ncih, deswgn kann ich damit nix anfangn Augenzwinkern

ich mein das hier


aber ich mach das mit der potenzregel mal so, wie wir das in der schule hatten^^ :





Der erste Term faellt weg, da man x^n von x^n subtrahiert wird



Da h faktorisiert wird, gibt es nur noch einen Term, der kein "h" im Produkt enthaelt. Wenn man nun limitiert, dann fallen alle h's weg, und es bleibt uebrig



Eine Ergaenzungsfrage. Wenn jetzt Polynome vorhanden sind, dann sollte man das doch lieber mit der Summenregel beweisen oder? Und nicht noch einmal extra fuer jedes Polynom die Potenzregel beweisen, oder ist das doch notwendig?

(Nur der Uebersicht halber: Bewiesen wurde bisher :
- Potenzregel
- Produktregel
- Quotientenregel (so halb ^^)
- Kettenregel (von der ich jetzt aber nicht weiss, ob die jetz letzendlich korrekt ist, oder nicht)
- Summenregel
)

Faktorregel:






Und da:


kann man das zusammenfassen als:


Im Zusammenhang z.Bsp. mit der Potenzregel koennte das heißen:



EDIT: Hab Deine Posts zusammengefügt Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TB


Was ist denn hier das k? Du brauchst eigentlich die Binomialkoeffizienten!


Zitat:
Original von TB
Eine Ergaenzungsfrage. Wenn jetzt Polynome vorhanden sind, dann sollte man das doch lieber mit der Summenregel beweisen oder? Und nicht noch einmal extra fuer jedes Polynom die Potenzregel beweisen, oder ist das doch notwendig?


Du brauchst beide Regeln! Durch die Summenregel weisst Du, dass Du die Summanden einzeln ableiten darfst, diese musst Du aber mit der Potenzregel ableiten!

Deine Faktorregel ist korrekt!

Ich werde nun kurz die Ausweitung der Potenzregel auf rationale Zahlen zeigen:

Wir haben bisher gezeigt, dass für



Wir definieren nun

Aus der Quotientenregel folgt unmittelbar:


Damit gilt unser Potenzgesetz für

Nun brauchen wir den Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion:

Sei bijektiv und die Umkehrfunktion von f.
Wir wissen, dass
Also ist

Es folgt:

Damit kann das Gesetz nun folgendermassen erweitert werden:

Wenn , dann ist


Um jetzt das Gesetz für alle rationalen Zahlen zu beweisen, benutzen wir wieder die Kettenregel:


Es sei

Also ist

Vereinfachen ergibt:


Also gilt das Gesetz auch für rationale Zahlen!

Für irrationale Zahlen geht man entweder über die natürliche Exponentialfunktion, oder aber man benutzt die gleichmässige Konvergenz. Beides würde ich gern MSS überlassen, da es meine Fähigkeiten übersteigt und er das bereits einmal gezeigt hat...

EDIT: Ich würde gerne noch ein paar Rückmeldungen hören Augenzwinkern (wenn Fehler drin sind und so). Und zur Erweiterung, die MSS ansprach: Da müsste der Fall gesondert untersucht werden, wenn b(x+h)-b(x)=0. Ich werde das nachtragen!
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