Produktregel für höhere Ableitungen

18.01.2006, 11:06

Üna

Produktregel für höhere Ableitungen

Guten Morgen *schmunzel*

Ich beschäftige mich mit o.g. Produktregel.

Gegeben sind zwei unbekannte Funktionen f und g, beide n-mal differenzierbar.

dann soll gelten:

(f*g)^{(n)} = \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} f^{(i)} g^{(n-i)}

Diese Formel soll mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.

Also was ich gelernt habe ist, dass man etwas erst für 1 beweist, und dann für n+1.

Also setze ich n=1 und komme auf:

$\begin{eqnarray*} (f*g)' = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} f^{(0)}g'+ \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}f'g^{(0)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f*g'+f'*g \end{eqnarray*}$ , was dann wieder die ursprüngliche Kettenregel ist.

Ist das bis hierhin richtig?

18.01.2006, 11:11

Lazarus

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ganz genau!
für den fall n=1 bekommen man die "normale" produktregel.
bisher alles richtig
\\edit: naja nicht ganz alles: du musst wenn du den induktionsanfang gemacht hast (n=1) die formel für allgemeine n aufstellen und dann kannst du erst n+1 formulieren

dir fällt sicher die ähnlichkeit der produktregel zum binomischen lehrsatz auf, und der induktionsbeweis verläuft analog !

servus

18.01.2006, 11:22

Üna

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Das ist ja schonmal fein.

Leider haben wir den Binomischen Lehrsatz nie induktiv bewiesen.

Aber ich versuche mal, hier weiterzukommen.

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~ \begin{pmatrix} n+1 \\ i \end{pmatrix}f^{(i)}g^{(n+1-i)} \end{eqnarray*}$

Ist der Anfang so richtig?

18.01.2006, 12:18

klarsoweit

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Ich schreib zur Sicherheit nochmal die Induktionsvoraussetzung hin:
$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} f^{(i)} \cdot g^{(n-i)} \end{eqnarray*}$

Du mußt jetzt $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ bilden. Dieses ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} \end{eqnarray*}$ , das heißt, du mußt die Summe auf der rechten Seite nochmal ableiten.

18.01.2006, 12:20

Üna

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Vielen Dank für das Hilfs-Angebot. Leider kann ich das so bei mir am pc nicht lesen... :-(

18.01.2006, 12:29

Üna

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Oh, komisch, jetzt gehts doch.

Also,

$\begin{eqnarray*} f^{(i)} ergibt ( i*f^{(i-1)} ) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g^{(n-i)} ergibt ((n-i)g^{(n-2i)} \end{eqnarray*}$

Nach Produktregel also:

$\begin{eqnarray*} g^{(n-i)}*(i*f^{(i-1)})+ (n-i)g^{(n-i-1)}*f^{i} \end{eqnarray*}$

18.01.2006, 13:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Üna
$\begin{eqnarray*} f^{(i)} ergibt ( i*f^{(i-1)} ) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g^{(n-i)} ergibt ((n-i)g^{(n-2i)} \end{eqnarray*}$

Mit Verlaub: Quatsch! unglücklich

$\begin{eqnarray*} f^{(i)} \end{eqnarray*}$ ist die i-te Ableitung und nicht $\begin{eqnarray*} (f(x))^i \end{eqnarray*}$ .

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