Chebyvcheff

17.05.2008, 13:20

Matrices

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Chebyvcheff

Guten Mittag,
hab eine Frage zu folgender Behauptung:
Es sei $\begin{eqnarray*} a \leq b \leq c \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M:= \min \{ \|P\|_{C[a,b]}: P \in \Pi_n, P(c) = 1 \} \end{eqnarray*}$ wird für das Polynom

$\begin{eqnarray*} P(t) = \frac{T_n(1 + 2 \frac{t-b}{b-a}) }{ T_n(1+ 2 \frac{c-b}{b-a} ) } \end{eqnarray*}$

angenommen.
Ok, betrachte zur Einfachheit das ganze zuerst für das Intervall [-1,1], also ist $\begin{eqnarray*} c \geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Angeblich ist $\begin{eqnarray*} T_n(c) > 0 \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion der Chebyvcheff-Polys, aber warum? Nach Def. sind sie $\begin{eqnarray*} T_n(x) := cos(n \cdot arccos(x)) \end{eqnarray*}$ , mit |x| <=1 und n=0,1... . Wie kann man nun sehen dass das für ein c >= 1 größer Null ist? Der Kosinus ist doch immer zwischen -1 und 1 ?

Und warum gilt dann weiter, dass

$\begin{eqnarray*} \|P\|_{[-1,1]} := \max_{t \in [-1,1]} |P(t)| = \frac{1}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$ ???
Steht in der Norm eigentlich auch P(t) ?
Dann hätte man ja $\begin{eqnarray*} \|P\|_{[-1,1]} := \max_{t \in [-1,1]} |P(t)| = \max_{t \in [-1,1]} | \frac{T_n(t)}{T_n(c)} | \end{eqnarray*}$ , aber warum ist das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$ ??

Wär super, wenn mir jemand erklären könnte, wie man auf diese Schritte kommt.*HELP*

17.05.2008, 13:34

tigerbine

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Zitat:

Angeblich ist $\begin{eqnarray*} T_n(c) > 0 \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion der Chebyvcheff-Polys, aber warum?

Vielleicht wählst du eher die Polynomdarstellung, um die Frage zu beantworten.?

[WS] Orthogonale Polynome

17.05.2008, 14:10

Matrices

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Danke für den link und deinen Hinweis.

Es ist also in Polynomdarstellung

$\begin{eqnarray*} T_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1(x) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2(x) = 2x^2 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_3(x) = 4x^3 - 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ ... und

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) \end{eqnarray*}$ .

Bei den ausgerechneten bis T_4 seh ich schon, dass T(c) > 0 für $\begin{eqnarray*} c \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Kann man das dann quasi mittels vollständiger Induktion zeigen, dass es auch für T_n gilt?

17.05.2008, 14:18

tigerbine

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Wenn du dir die weiteren Eigenschaften durchliest, Nullstellen und so, sollte es mit T(1)=1 schon klar sein, dass die Funktionen ab da streng monoton steigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2008, 14:33

Matrices

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Achso, weil $\begin{eqnarray*} T_n(1) = cos(n \cdot arccos(1)) = cos (n \cdot 0) = cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Und hast du noch eine Hilfe für mich, warum die Gleichung mit dem max von P(t) gilt?

Kann T_n(t) für t aus [-1,1] höchstens 1 werden? Die Polynome "ditschen" ja immer bei -1 und 1 an, wenn man die Extremwerte berechnet. Aber muss dazu t aus diesem Intervall sein? Und was ist dann mit dem T_n(c) ? das ist irgendein konstanter Wert > 0?

...sorry für die wahrscheinlich viel zu trivialen Fragen,... aber ich steh grad echt etwas auf dem Schlauch...

17.05.2008, 14:39

tigerbine

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Zitat:

In welchem Intervall liegen die $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ :

Da der Cosinus nur Werte aus dem Intervall [-1, 1] annimmt, liegen die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome folglich auch in diesem Intervall.
(Beliebte Prüfungsfrage)

Damit liegen außerhalb keine Nullstellen mehr. Es handelt sich um Polynome, d.h. auch Wendepunkte kommen nicht mehr vor (Satz von Rolle + Anzahl von Nullstellen bei Polynomen), somit ist T(C) > 1 klar.

Auch, dass die Wertemenge auf den Definitionsintervall (denke an den arccos!) nur zwischen -1 und 1 liegt. Außerhalb müssen wir auf die Polynomschriebweise wechseln, damit erweitert sich die Definitionsmenge und erst so können wir T(c) für c>1 beantworten.

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17.05.2008, 15:03

Matrices

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danke für deine Erklärungen, also das Zitat versteh ich. Aber T(C) > 1 ist für mich noch nicht klar. Ist T = T_n ?
Also ich glaube in meine Vorstellung passt das noch nicht, denn die Extrema liegen doch immer bei -1 oder 1. Wie kann dann T(c) > 1 werden?

ok, dass wir zur Polynomschreibweise wechseln müssen, da der Defberereich eigentlich nur [-1,1] umfasst und wir c>1 betrachten wollen, kann ich nachvollziehen - trotzdem passt es in meinem kleinen Hirn noch nicht ganz zusammen...
Wenn die Polynomschreibweise eine äquivalente Def. ist, warum kann sie dann einen größeren Def.bereich haben?

17.05.2008, 15:07

tigerbine

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Zitat:

Ist T = T_n ?

ja.

Sie sind nur dem Bereich äquivlant. Denke an die Schule zurück, wo Du hebbare Definitionslücken hattest.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x} \neq x = \hat{f}(x) \end{eqnarray*}$

Bei T_n stellt sich die Frage nach T_n(c) im Grunde gar nciht, da die Funktion nicht definiert ist. Die Polynomdarstellung ist im Grunde die 'stetige Erweiterungen' und da können wir dann auch die Werte für c>1 betrachten.

17.05.2008, 15:24

Matrices

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hm, okay das Bsp ist gut, danke!

Wie kann ich dann noch das mit dem max einsehen? Hast du noch einen Tipp dazu?

17.05.2008, 15:50

tigerbine

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Im Moment keine Zeit mehr dafür. Wink

Wink

17.05.2008, 16:02

Matrices

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später langt auch noch, aber ich wäre echt glücklich das mal zu verstehen... !! :-)

17.05.2008, 18:50

tigerbine

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Was war denn da eigentlich deine Frage?

Gegeben

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} a \leq b \leq c \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M:= \min \{ \|P\|_{C[a,b]}: P \in \Pi_n, P(c) = 1 \} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} P(t) = \frac{T_n(1 + 2 \frac{t-b}{b-a}) }{ T_n(1+ 2 \frac{c-b}{b-a} ) } \end{eqnarray*}$

17.05.2008, 22:03

Matrices

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Die Frage war eigentlich die Behauptung, dass M für das Polynom P(t) angenommen wird. Das ist zu zeigen, bzw der Beweis zu verstehen... und damit hab ich leider so meine Schwierigkeiten.

Also wir wissen nun, dass $\begin{eqnarray*} T_n(c) >0 \end{eqnarray*}$ ist, nach Konstruktion der Polynome. Außerdem betrachten wir zunächst nur [a,b] =[-1,1] und $\begin{eqnarray*} c \geq 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(t) = \frac{T_n(t)}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$ .

Weiter sollte gelten:
$\begin{eqnarray*} \|P\|_{C[-1,1]} := \max_{t \in [-1,1]} |P(t)| = \frac{1}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$ .

Dieser Schritt ist mir noch nicht so ganz klar, wie kommt man darauf dass das für das max gilt?

17.05.2008, 22:24

tigerbine

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M ist doch nur eine Definition. Da verstehe ich dich nicht. Ferner wer sagt, dass man dich nur [-1,1] anschauen soll? Du? Dein Prof?

17.05.2008, 23:07

Matrices

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Ja schon, aber man muss ja irgendwie zeigen, dass es angenommen wird?

Dass man zuerst nur das Intervall [-1,1] betrachtet ist ein Vorschlag in der Musterlösung (die ich leider noch immer nicht verstehe...), anschließend wird das Intervall dann auf [a,b] transformiert.

Also ich schreib mal wie es dann weitergeht, nachdem man dieses max|P(t)| hat, was ich immernoch nicht nachvollziehen kann... wär echt super, wenn du mir auf die Sprünge helfen könntest die Schritte zu verstehen... *hoff*

Angenommen es existiert ein $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} p(c) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |p(t)| < \frac{1}{T_n(c)} \forall t \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Für die Extrema $\begin{eqnarray*} z_j = cos(\frac{j \pi}{n}) \end{eqnarray*}$ (j=0,..,n) von T_n ist $\begin{eqnarray*} T_n(z_j) = (-1)^j \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt:
$\begin{eqnarray*} p(z_0) < \frac{T_n(z_0)}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_(z_1) > \frac{T_n(z_1)}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$

.....

$\begin{eqnarray*} p(z_n) < (>) \frac{T_n(z_n)}{T_n(c)} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass p(t) - P(t) mindestens n Nullstellen in (-1,1) hat. Offenbar ist c> 1 eine weitere Nullstelle von p-P. Dies ist ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ .

Wir transformieren nun [-1,1] auf ein beliebiges Intervall [a,b]

$\begin{eqnarray*} t = \frac{2x-(a+b)}{b-a} = 1 + \frac{2(x-b)}{b-a} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} = \frac{T_n(1 + \frac{2(x-b)}{b-a})}{T_n(1+ \frac{2(c-b)}{b-a})} \end{eqnarray*}$

liefert $\begin{eqnarray*} M = min\{ \|p\|_{C[a,b]}: p \in \Pi_n, p(c) = 1\} \end{eqnarray*}$ .

Nach dem ersten Teil ist

$\begin{eqnarray*} M = \frac{1}{T_n(1 + \frac{2(c-b)}{b-a})} \end{eqnarray*}$ .

So steht das alles da.

Du verstehst jetzt bestimmt was hier passiert, oder?
Versteh ich das richtig, M ist die Menge der Normen aller Polynome P für die P(c) = 1 gilt. Was ist eigentlich dieses c? eine Konstante?

17.05.2008, 23:08

Matrices

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achso halt, M ist nur die kleinste Norm des Polynoms mit den entsprechenden Eigenschaften?

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