Produkt auch offen?

18.01.2006, 13:24

Sunwater

Produkt auch offen?

Für nichtleere Mengen A,B Teilmengen von R werde definiert

$\begin{eqnarray*} A*B := \{ xy | x \in A, y\in B \} \end{eqnarray*}$

jetzt ist die Frage, ob aus der Offenheit von A und B auch die Offenheit von A*B folgt? ( mittels Beweis oder Gegenbeispiel )

ich denke mal das das schon so ist...

ich stelle mir das so vor, als würde einfach der Radius der Menge und damit auch der Rand nur vergrößert... - könnte aber auch sein, dass dann Punkte auf dem Rand sind, die nicht zu A*B gehören... - find irgendwie keinen wissenschaftlichen Ansatz!

18.01.2006, 13:56

Dual Space

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RE: Produkt auch offen?
Wenn du der Meinung bist, dass A*B wieder offen ist: Nimm eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)\subset A \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwert nicht in A liegt und eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)\subset B \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwert nicht in B liegt (Dabei musst du natürlich begründen, warum es solche Folgen gibt.). Zeige nun, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (a_n \cdot b_n) \end{eqnarray*}$ existiert und dass er nicht in A*B liegt.

Ansonsten wäre es günstig, wenn du ein Gegenbeispiel findest.

18.01.2006, 14:48

Sunwater

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das klingt ja schon mal so, als würde ich mit meiner Vermutung falsch liegen...

aber wenn ich nochmal den Beweis versuche:

weil A offen ist, ist A nicht abgeschlossen.

Somit existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n - a| =0 \end{eqnarray*}$ wobei a der Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ ist.

das gleiche gilt für B.

dabei liegt a nicht in A und b nicht in B

jetzt habe ich die Folge $\begin{eqnarray*} \{ a_n*b_n \} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | a_n*b_n - d | = 0 \end{eqnarray*}$

wobei d jetzt der Grenzwert der Folge sein soll ( d ist nicht unbedingt a*b, oder? )

und soll zeigen, dass d existiert und nicht in A*B liegt...

da steh ich irgendwie auf'm Schlauch

18.01.2006, 14:54

Dual Space

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Zitat:

Original von Sunwater
das klingt ja schon mal so, als würde ich mit meiner Vermutung falsch liegen...

Das habe ich zu keiner Zeit behauptet.
Bedenke, dass wir hier im Reellen sind - Grenzwertsätze!

18.01.2006, 14:58

Sunwater

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naja, beim limes könnte ich den als Produkt der limen von $\begin{eqnarray*} a_n,b_n \end{eqnarray*}$ schreiben, aber was passiert mit dem d?

18.01.2006, 15:01

Dual Space

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... und die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ kennst du ja. Übrigens müsstest du natürlich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ab\not\in A*B \end{eqnarray*}$ .

18.01.2006, 15:07

Sunwater

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also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n*b_n - d| = \lim_{n \to \infty} |a_n| * \lim_{n \to \infty} | b_n | - \lim_{n \to \infty} | d | = a*b - \lim_{n \to \infty} | d | = 0 \end{eqnarray*}$

und d = a*b

also ist $\begin{eqnarray*} a*b - \lim_{n \to \infty} a*b = a*b - a*b = 0 \end{eqnarray*}$ das ist eine wahre Aussage und dann?

18.01.2006, 15:19

Dual Space

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Also das ist eigentlich fast alles falsch du grad geschrieben hast!

Zitat:

Original von Sunwater
also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n*b_n - d| = \lim_{n \to \infty} |a_n| * \lim_{n \to \infty} | b_n | - \lim_{n \to \infty} | d | = a*b - \lim_{n \to \infty} | d | = 0 \end{eqnarray*}$

und d = a*b

also ist $\begin{eqnarray*} a*b - \lim_{n \to \infty} a*b = a*b - a*b = 0 \end{eqnarray*}$ das ist eine wahre Aussage und dann?

Ui bloß nicht! Mal ganz langsam. Denk an die Dreiecksungleichung! Außerdem weiß ich jetzt nich worauf das führen soll.

Nochmal du willst jetzt wissen, ob der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_nb_n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ ist. Na und das kannst du mit den Grenzwertsätzen begründen.

18.01.2006, 15:56

Sunwater

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ne ich dachte mir schon, dass das was da steht wirklich quatsch ist...

also muss ich jetzt nur drüber nachdenken, ob ab in A*B liegt, wenn nicht, dann ist auch A*B offen...

ok, ich weiß, dass a nicht in A liegt und b nicht in B... - aber folgt daraus, dass a*b nicht in A*B liegt?

könnte nicht auch a in B liegen und b in A?

18.01.2006, 17:32

Dual Space

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Guter Einwand.

Man kann aber o.B.d.A. annehmen, dass

$\begin{eqnarray*} a=\begin{cases}-c_a &: \inf(A)=-c_a\\ c_a &: \text{sonst}\end{cases} \quad\text{bzw.}\quad b=\begin{cases}-c_b &: \inf(B)=-c_b\\ c_b &: \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} c_a=\sup\{|x|:x\in A\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_b=\sup\{|y|:y\in B\} \end{eqnarray*}$ . Dann dürfte das erledigt sein.

Sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist es aber gar nicht.

18.01.2006, 18:23

papahuhn

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Zitat:

Original von Sunwater
weil A offen ist, ist A nicht abgeschlossen.

Aja?

19.01.2006, 09:27

Sunwater

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stimmt das etwa nicht?

wenn A offen ist, kann es doch nicht abgeschlossen sein, oder?

ich meine, wenn A nicht offen ist kann ich nicht folgern, dass es abgeschlossen ist, das ist mir klar aber das oben stimmt nicht?

dann wäre ich echt verwirrt...

wie kann eine Menge gleichzeitig offen und abgeschlossen sein?

19.01.2006, 10:14

papahuhn

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ z.B. ist offen und abgeschlossen.

19.01.2006, 10:25

Sunwater

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ja stimmt, das steht irgendwo in unserem Hefter...

das die Menge selbst und die leere Menge immer offen und abgeschlossen gleichzeitig sind...

also ganzer Beweis für die Katz?

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