Problem bei Injektivität linearer Funktionen

17.05.2008, 14:03

blub85

Problem bei Injektivität linearer Funktionen

Servus!

Wir haben in der Vorlesung ein Lemma aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn $\begin{eqnarray*} ker f = \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe das noch nicht wirklich, könnte mir das einer mit anderen Worten versuchen zu erkklären?

Ich habe auch ein Gegenbeispiel gefunden (irgendwo ist da ein Denkfehler vonb mir drinnen):

sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} ker f = \{0\} \end{eqnarray*}$ gilt, müsste f injektiv sein.

Setzt man aber für $\begin{eqnarray*} x_1 = (-1,-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=(1,1) \end{eqnarray*}$ ein, gilt

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=(1,1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

Was doch eindeutig nicht injektiv ist?!?

verwirrt

danke für Eure hilfe!

17.05.2008, 14:17

tmo

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} f((x,y)) = (x^2,y^2) \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung ist nicht linear.

17.05.2008, 14:17

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von blub85
sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Was soll das für eine Funktion sein? Wie quadrierst du einen Vektor?

Vielleicht liest du noch einmal die Voraussetzungen des Lemmas durch. Da geht es doch sicher um lineare Abbildung, was deine Funktion eindeutig nicht ist.

17.05.2008, 14:29

blub85

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mh, okay.. ich meinte das so, wie tmo das aufgeschrieben hat (sorry).

dass die Abbildung nicht linear ist, kam mir jetzt auch. Also muss das nicht gelten.

Trotzdem versteh ich diesen Satz nicht wirklcith. wie kann ich mir das denn vorstellen, dass f injektiv ist, wenn genau ker f= {0} ist.

:/

17.05.2008, 14:34

kiste

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So schwer ist das doch nicht.

Ist die Abbildung injektiv dann gibt es natürlich nur ein Element das auf die 0 abbildet. Da die 0 immer auf die 0 abbildet muss es die 0 sein -> Ker = 0

Jetzt ist der Ker = 0. Annahme die Abbildung wäre nicht injektiv. Dann gibt es verschiedene Elemente a,b mit f(a) = f(b). Also ist f(a) - f(b) = 0 = f(a-b) da linear. Also muss a-b=0 sein das im Kern. Daraus folgt a=b was ein Widerspruch ergibt.

Was heißt das also? Durch die linearität wird injektiv allein durch den Kern induziert. Das heißt du musst um zu untersuchen ob die Abbildung injektiv ist nur schauen welche Elemente auf die 0 abbilden

17.05.2008, 14:57

blub85

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super, danke Dir!

habs jetzt verstanden!! Prost

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