Halbordnung zeigen

18.01.2006, 13:43

mercany

Halbordnung zeigen

Hallo,

ich habe ein kleines Verständnisproblem bei folgender Aufgabe:

Zeige, dass man auf jeder nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine triviale Halbordnung durch $\begin{eqnarray*} a < b & :\Leftrightarrow & a = b \end{eqnarray*}$ erklären kann.

$\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ genügt ja in diesem Falle folgenden Axiomen:

$\begin{eqnarray*} \alpha) & a < a & \forall a \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta) & \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma) & \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b < c \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} a < c \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mir nur nicht ganz klar, inwiefern ich das zeigen soll.
Soll ich zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ eben immer $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ in einer Teilordnung gilt und das eben unter Benutzung der obigen Axiome?

Gruß, mercany

18.01.2006, 14:00

Dual Space

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Bin mir jetzt auch nicht ganz sicher, aber da die Axiome trivialerweise erfüllt sind, bist du doch schon fertig, wenn du das so hinschreibst. Denn dann hast du gezeigt, dass das so definierte a<b eine Halbordnung ist.

18.01.2006, 14:08

mercany

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Ja, dass hab ich halt auch so gesehen.
Nur wo ist dann der Sinn der Aufgabe... Dann müsste ich doch eigentlich garnichts zeigen, weil ich alles auf Axiome begründen kann.

Oder müsste ich die Gültigkeit der Axiome noch zeigen (nein, ist doch eigentlich nicht der Sinn von Axiomen, oder?!) ?

Gruß, mercany

18.01.2006, 14:16

JochenX

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ich weiß nicht, was das Problem ist.

Eine Ordnung "<" auf einer Menge M heißt Halbordnung, wenn ....... erfüllt ist.
Das ist Definition.

Hier musst du eben zeigen, dass die "="-Relation diese Bedingungen erfüllt.
Also musst du diese Bedingungen zeigen, dass sie (fast schon trivialerweise) richtig sind ist natürlich klar,aber das ändert nichts an der sache.

ich sehe echt nicht, woran es hängt.....

18.01.2006, 14:20

Abakus

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RE: Halbordnung zeigen

Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ genügt ja in diesem Falle folgenden Axiomen:

$\begin{eqnarray*} \alpha) & a < a & \forall a \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta) & \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma) & \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b < c \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} a < c \end{eqnarray*}$

Axiome für "<" gibt es nicht. Das "<" ist ja nur eine Bezeichnung für eine Relation. Du musst alle 3 Eigenschaften einer Halbordnung für "<" zeigen (selbst wenn es hier offensichtlich ist).

Grüße Abakus smile

18.01.2006, 14:21

Ben Sisko

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Nicht umsonst sagt die Aufgabelstellung "triviale Halbordnung" Augenzwinkern

18.01.2006, 14:34

mercany

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Danke für die Antworten.

@Jochen
Genau das war es was ich wissen wollte.
Das Problem war einzig und allein das Verständnis, ob ich das so zeigen soll!

@Abakus
Natürlich ist $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ eine Relation, die auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ erklärt ist! Augenzwinkern

Gruß, mercany

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