Bahnen von S_n

17.05.2008, 14:46

Fletcher

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Bahnen von S_n

Guten Tag,

es geht mir um die Bahnen der Gruppe S_n. sei $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_n \end{eqnarray*}$ ein Zykel.

zz: Es gibt nur eine einzige nicht-triviale Bahn in $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

Man kann ja die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ schreiben als Vereinigung disjunkter Bahnen, aber wie zeige ich die Aussage? Außerdem ist mir nicht ganz klar, was mit nicht-trivialen Bahnen gemeint ist, ich kenne nur nicht-triviale Normalteiler bisher...

Danke für euere Hilfe

18.05.2008, 10:15

therisen

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RE: Bahnen von S_n

Zitat:

Original von Fletcher
zz: Es gibt nur eine einzige nicht-triviale Bahn in $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit? Soll die von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ erzeugte zyklische Untergruppe auf $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ wirken?

18.05.2008, 11:37

Fletcher

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Habs noch mal kontrollliert, die Aufgabenstellung lautet so.

Ich denke mal es ist damit gemeint, dass die Permutation auf dieser Menge transitiv operieren Im Skript steht noch sowas, hilft das dir vielleicht:

$\begin{eqnarray*} <\sigma>=\{\sigma^{(m)}(x) | m \in \mathbb Z\} = B_x \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 12:39

therisen

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Nein, der Zyklus operiert nicht transitiv. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass der Zyklus $\begin{eqnarray*} \sigma\in\mathfrak{S}_n \end{eqnarray*}$ genau eine nichttriviale Bahn hat (alle anderen Bahnen sind einelementig, also trivial). Schreib dir einfach mal auf, was es heißt, dass $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ein Zyklus ist.

18.05.2008, 21:13

Fletcher

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Willst du darauf hinaus dass sich jeder Zyklus als Produkt von nicht unbedingt disjunkten Transposititionen schreiben lässt?

18.05.2008, 21:35

therisen

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Nein, sondern darauf, dass es ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und paarweise verschiedene Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,\dots, x_r\in\{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ gibt so, dass

$\begin{eqnarray*} \sigma(x_i)=x_{i+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq i<r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(x_r)=x_1 \end{eqnarray*}$ . Der Rest wird fest gelassen, d.h. $\begin{eqnarray*} \sigma(x)=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\{1,\dots,n\}\setminus\{x_1,\dots, x_r\} \end{eqnarray*}$ .

Eine nicht-triviale Bahn unter der Aktion von $\begin{eqnarray*} \langle\sigma\rangle \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} B_1=\{x_1,\sigma(x_1), \dots, \sigma^{r-1}(x_1) \} \end{eqnarray*}$ . Wie sehen die anderen Bahnen aus?

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19.05.2008, 17:01

Fletcher

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Nach deiner obigen Aussage müssten die anderen Bahnen alle einelementig sein, nicht wahr?

19.05.2008, 18:16

therisen

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Ja. Die Frage ist bloß: Warum?

19.05.2008, 18:30

Fletcher

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Antwort kommt noch, ich muss mir das in Ruhe noch überlegen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2008, 15:42

Fletcher

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So leicht finde ich die Begründung gar nicht, ich denke mal das hat damit zu tun das andere Elemente fest bleiben, wie du es oben schon erwähnt hattest.

20.05.2008, 15:47

therisen

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Ja, damit hat es zu tun. Beachte, dass je zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt sind.

20.05.2008, 16:02

Fletcher

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Die disjunkte Vereinigungen der Bahnen ergibt ja die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ , also bestehen doch die restlichen Bahnen alle nur aus einem Element, da dieses Sigma auf diese Elemente nicht wirkt, also sind die Bahnen von der Form $\begin{eqnarray*} B_x=\{x\}~x \in \{1,...,n\} \backslash \{x_1,...,x_r\} \end{eqnarray*}$

20.05.2008, 16:10

therisen

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Ja.

20.05.2008, 16:10

Fletcher

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Gut, reicht das jetzt als Begründung?

20.05.2008, 16:14

therisen

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Ja. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ "wirkt" übrigens schon auf die Elemente, aber sie werden eben festgelassen (Fixpunkte).

20.05.2008, 16:15

Fletcher

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Ja, so habe ich es auch gemeint! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

20.05.2008, 20:55

Fletcher

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Mir ist noch was eingefallen, was ist, wenn der Zykel $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Länge n hat also alle Zahlen der Menge permutiert?

Antwort: Dann gibt es nur diese einzige nicht-triviale Bahn und es gibt keine Fixpunkte unter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

Richtig, therisen???

20.05.2008, 21:13

therisen

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Ja, dann ist die Operation transitiv.

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