gebrochen rationale Funktion

17.05.2008, 14:49

FooFighter

gebrochen rationale Funktion

Hallo!

Am Dienstag habe ich meine Fachhochschulereifeprüfung in Mathematik!
Ich behersche eigentlich soweit alles in Mathe was wir in dem Schuljahr durchgenommen haben, nur mit den gebrochen rationalen Funktionen tue ich mich schwer und ich weiß schon zu 99,999% dass eine solche Aufgabe teil der Prüfung sein wird!

Ich habe die Klassenarbeit rausgekramt, die dieses Thema behandelte und auf welcher ich eine schöne 5 bekommen habe!

Hier eine Aufgabe aus der Klassenarbeit die ich gerne als Beispiel noch mal rechnen möchte um das vielleicht noch mal zu verstehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x²+8x-32}{-x²-x+12} \end{eqnarray*}$

1. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die Nullstellen

Hier habe ich erstmal den unteren Teil des Bruches Null gesetzt!
$\begin{eqnarray*} -x²-x+12=0 \end{eqnarray*}$

mit hilfe der PQ-Formel habe ich $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +3 \end{eqnarray*}$ erhalten und diese dann zusammen mit diesen komischen Buchstaben so eingetragen:

$\begin{eqnarray*} ID = IR \ {-4 ; 3} \end{eqnarray*}$

So... Was Definitionsbereich angeht müsste das doch richtig sein so oder? Wobei ich dazu sagen muss, ich weiß überhaupt nicht was dieses ID und IR zu bedeuten hat, ich weiß nur dass man das irgendwie so hinschreiben soll. (Mathelehrer fragen bringt nix, ich verstehe seine Sprache nicht und er hat was gegen mich dem Anschein nach).

Weiter zu den Nullstellen der Funktion:

Dafür habe ich einfach den oberen Teil des Bruches 0 gesetzt!
$\begin{eqnarray*} 4x²+8x-32=0 \end{eqnarray*}$

und auch hier wieder per PQ-Formel angewendet und kam auf folgendes ergebniss:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -4 ; x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

ok, -4 kann schon mal nicht angehen, hier haben wir ja so eine komische Definitionslücke.
Aber 2 wird wohl schon richtig sein, sieht man ja auch anhand der Zeichnung!

...Wie auch immer, für diese aufgabe bekam ich für meinen Lösungsweg lediglich 3 von 10 Punkten. Hättet ihr mich auch so bewertet?

2. Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren

Da hab ich nur Bahnhof verstanden und dementsprechend 0 Punkte bekommen.

Da ich mittlerweile ein bisschen mehr in der Mathematik durchsteige meine ich dass das so aussehen müsste:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x² + 8x - 32}{-x² - x + 12} = \frac{4\left(x+4\right)\cdot\left(x-2\right)}{-\left(x+4\right)\cdot\left(x-3\right)} \end{eqnarray*}$

Stimmt doch so oder?

3. Ermitteln Sie an den Stellen, für die die Funktion nicht definiert ist, die links und rechtsseitigen Grenzwerte und kommentieren Sie Ihre Ergebnisse

Weiß ich momentan überhaupt nich was damit gemeint sein soll verwirrt

Kann jemand mit der Aufgabenstellung was anfangen?

4. Wie verläuft der Graph der Funktion für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$

So, natürlich auch 0 Punkte in der Arbeit gehabt!

Ich meine hier müsste ich eine Polynomdivision machen, Zähler durch Nenner.
Da bekomme ich dann -4 und einen Rest raus... Reicht das dann schon?

-------------------------------------------

Zu dem bin ich mir nicht wirklich sicher wie ich meine Lösungswege und Ergebnisse richtig in den Arbeiten hinschreiben soll...
Wenn da jemand irgendwelche Tipps oder Links hat immer her damit!

Auch über hilfreiche Links zum Thema gebrochen rationale Funktion wäre ich sehr dankbar!

17.05.2008, 14:56

Borsti

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hätte da ne ganz gute Seite für dich:

brinkmann-du.de

vll findest du da ja ein paar antworten Hammer

^^ und es kann auch sein das du auf learnline.de
entspechende Übungsaufgaben findest für deinen Fachbereich

mfg

Chris Wink

17.05.2008, 14:58

tigerbine

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RE: gebrochen rationale Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x²+8x-32}{-x²-x+12} \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge, d.h. wo spielt sich das denn ab. Typisch wären die reellen Zahlen IR. Dürfen wir da auch alle nehmen?

$\begin{eqnarray*} -x^2-x+12=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x-12=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \setminus \{-4,3\} \end{eqnarray*}$

Nun stellt sich gleich weiter die Frage, sind es eventuell hebbare Definitionslücken? Das ist dann der Fall, wenn sie auch Nullstellen des Zählers sind. Und da klärt sich auch schon das komische Big Laugh

mit der x=-4.

17.05.2008, 15:17

FooFighter

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RE: gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Nun stellt sich gleich weiter die Frage, sind es eventuell hebbare Definitionslücken? Das ist dann der Fall, wenn sie auch Nullstellen des Zählers sind. Und da klärt sich auch schon das komische Big Laugh

mit der x=-4.

Mh, genau das versteh ich jetzt nicht so ganz!
Der begriff "hebbare Definitionslücke" sagt mir überhaupt nix! Was ist das und wie erklär ich sowas auf dem Papier? Hat das überhaupt relevanz zu Aufgabe 1 oder war das jetzt nur eine Randnotiz?

Jedenfalls Danke schon mal für die Antwort!

17.05.2008, 15:24

tigerbine

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RE: gebrochen rationale Funktion
Billigbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x} \neq x = \hat f (x) \end{eqnarray*}$

Wir konnten mit der rechten Funktion aber die Definitionslücke stetig beheben, daher nennt man das stetige Fortsetzung. Wichtig ist das für den Graphen am Ende. Bei x=3 hast Du ja eine Polstelle. Also war das mehr als eine Randnotiz.

18.05.2008, 11:06

FooFighter

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Sorry, aber für mich hört sich das ungefähr so an: "Bahnhof".

Soll nicht böse gemeint sein, aber aufgrund meiner bisherigen Karriere (Realschulabschluss, Berufsausbildung), ist solch hohe Mathematik noch absolutes Neuland für mich...

18.05.2008, 12:01

tigerbine

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Dann kann ich dir nur erstmal das googlen der unbekannten Begriffe empfehlen. SChau dir mal den Plot an. Mand arf Grafiken zwar nicht immer vertrauen, aber hier zeigt sie schön den Unterschied. An beiden Stellen ist die Funktion nicht definiert, dennoch verhält sie sich doch stark unterschiedlich. Einmal schießt sie gegen unendlich, an der anderen Stelle tut sie so als wäre nichts gewesen. Augenzwinkern

Die Nullstellen sind sonst korrekt Bewertet und sollen ja nur angegeben werden. Ich finde 10P für einen solchen Teil schon recht viel. Da eigentlich nur 2x abc oder pq Formel anzuwenden war. Wie man D korrekt schreibt, habe ich Dir gezeigt.

Zitat:

2. Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren

Da hab ich nur Bahnhof verstanden und dementsprechend 0 Punkte bekommen.

Da ich mittlerweile ein bisschen mehr in der Mathematik durchsteige meine ich dass das so aussehen müsste:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x² + 8x - 32}{-x² - x + 12} = \frac{4\left(x+4\right)\cdot\left(x-2\right)}{-\left(x+4\right)\cdot\left(x-3\right)} \end{eqnarray*}$

Stimmt doch so oder?

Mit der a) eigentlich ein Kinderspiel. Müssen nur noch schauen, ob da noch ein Vorfaktor hin muss. Das sieht gut aus.

18.05.2008, 12:05

tigerbine

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Zitat:

3. Ermitteln Sie an den Stellen, für die die Funktion nicht definiert ist, die links und rechtsseitigen Grenzwerte und kommentieren Sie Ihre Ergebnisse

Hier kommen wir an die Analyse der Definitionslücken. Mit dem was ich schon sagte, erhalten wir 2 unterschiedliche Ergebnisse. Mit der Darstellung aus b wird es leicht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4\left(x+4\right)\cdot\left(x-2\right)}{-\left(x+4\right)\cdot\left(x-3\right)} \end{eqnarray*}$

Nun beheben wir eine lücke durch kürzen.

$\begin{eqnarray*} \hat f(x) = \frac{4\cdot\left(x-2\right)}{-\left(x-3\right)} \end{eqnarray*}$

Nun berechnet sich der Grenzwert aufgrund der Stetigkeit sehr einfach.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -4}~f(x)=\lim _{x \to -4}\hat f(x) =\hat f(-4)= \frac{4\cdot\left(-4-2\right)}{-\left(-4-3\right)} \end{eqnarray*}$

Im anderen Fall läßt sich das Problem nicht beheben. Sie Funktion geht betragsmäßig gegen unendlich. Du musst nur überlegen ob + oder -.

18.05.2008, 12:09

TheWitch

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Du hast unter 2. den Funktionsterm (richtig) in Linearfaktoren zerlegt. Diesen Term kannst du nun kürzen, und zwar durch "x + 4". Du hast zwei Lücken im Definitonsbereich, - 4 und 3. Kürzt du den Term durch "x + 4", fällt die bei - 4 für den gekürzten Term weg. Sowas nennt man "stetig hebbare Definitionslücke", weil der übrig bleibende Term nun an dieser Stelle stetig ist. ("Stetig" heißt, etwas platt gesagt, dass man ihn ohne abzusetzen durchzeichnen kann .)

((EDIT: Zu spät, Bine war schneller ...))

18.05.2008, 12:09

tigerbine

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Zitat:

4. Wie verläuft der Graph der Funktion für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$

Hier benutzen wir einen Trick. Da in Zähler und Nenner Polynome stehen, vergleichen wir deren Grad.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x²+8x-32}{-x²-x+12} \end{eqnarray*}$

Hier ist er gleich, so dass die Funktion sich einer konstanten annähern wird. Das geübte Auge sieht c(x)=-4. Formal schreibt man das so auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}~f(x) =\lim_{x\to \infty}~ \frac{x^2(4+\frac{8}{x}-\frac{32}{x^2})}{x^2(-1-\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2})}=-4 \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 12:11

tigerbine

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Zitat:

("Stetig" heißt, etwas platt gesagt, dass man ihn ohne abzusetzen durchzeichnen kann .)

Naja, das ist eher die Zwischenwerteigenschaft stetiger Funktionen. Augenzwinkern

Auch wenn es in der Schule gerne so gesagt wird.

Edit (Ich denke Du weißt das Augenzwinkern

)

18.05.2008, 12:23

FooFighter

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Vielen vielen Dank! Das hat schon mal geholfen Freude