Determinanten berechnen

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Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten berechnen
Hi,
gehe ich recht in der Annahme, dass die Regel von Sarrus zur Berechnung von Determinanten nur für Matrizen mit n<=3 gilt?

Die Cramersche Regel über die Anzahl der Lösungen gilt jedoch für alle n*n Matrizen sofern man ihre Daterminanten nur irgendwie bestimmen kann.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

wir hatten die regel von sarrus nur für 3x3 matrizen.
mfG 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

da du bei der determinantenberechnung ja über alle permutationen und hühott addierst, ist die sarrusregel nur ein spezialfall der allgemeinen summe.
bei 3 zeilen/spalten ist die anzahl der permutationen eben nicht so groß.

sarrus ist ausschließlich die sonderformel bei der determinantenberechnung von 3x3-matrizen

kA, was du mit der cramerschen regel willst, insbesondere nicht, wenn du sagst, um was für "lösungen" es gehen soll
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Die Cramersche Regel ist doch eine Methode zum Lösen eines LGS in der du Determinanten verwendest!?!

Mir fallen da noch zwei weitere Möglichkeiten ein, eine Determinante zu berechnen:

Zum einen kann man versuchen, die Matrix auf obere bzw untere Dreiecksform zu bringen (Stichwort "Gauß"). Die Determinante entspricht dann dem Produkt aller Diagonalelemente.

Die zweite Möglichkeit wäre der Laplace'sche Entwicklungssatz.

Aber am besten ist wie immer
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik).

Edit: Link repariert. Ben
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten berechnen
Die Determinanten kann man bestimmen für alle n, allerdings wird
das mit steigendem n recht unangenehm.

Auch eine allgemeine Berechnungsformel für n*n Determinanten
lässt sich als Summe über alle Permutationen aus der Sn Gruppe
formulieren, die praktische Umsetzung wird unangenem, wie die
Gruppengröße der Sn-Gruppe schon vermuten lässt.
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten

@LOED den Cramer hab ich erwähnt, weil wir im Unterricht beide Regeln zusammen besprochen haben. Quasi zum Anwenden der Cramerschen Regel braucht man Determinanten und die berechnet man mit der Regel von Sarrus.

@Tobias
Das mit der Dreiecksform wusste ich gar nicht. Gilt diese Methode für n*n Matrizen?
Das mit Laplace hab ich auch schon bei Wikipedia gesehen, allerdings verstehe ich nichts von dem was da steht Buschmann ^^
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
Zum einen kann man versuchen, die Matrix auf obere bzw untere Dreiecksform zu bringen (Stichwort "Gauß"). Die Determinante entspricht dann dem Produkt aller Diagonalelemente.


dass die determinante einer dreiecksmatrix gleich dem produkt der hauptdiagonalen elemente ist, müsste stimmen, aber die determinante ändert sich, wenn man eine matrix auf dreiecksform bringt!
Im Allgemeinen kann man diese Methode also nicht benutzen.
mfG 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Zitat:
Original von Tobias
Zum einen kann man versuchen, die Matrix auf obere bzw untere Dreiecksform zu bringen (Stichwort "Gauß"). Die Determinante entspricht dann dem Produkt aller Diagonalelemente.


dass die determinante einer dreiecksmatrix gleich dem produkt der hauptdiagonalen elemente ist, müsste stimmen


ja, laplacescher entwicklungssatz, induktion, beweis fertig

Zitat:
aber die determinante ändert sich, wenn man eine matrix auf dreiecksform bringt!

nein wieso? vielfaches einer zeile (spalte) auf eine andere addieren ändert die determinante nicht

Zitat:
Im Allgemeinen kann man diese Methode also nicht benutzen.

doch Augenzwinkern
nur ist das nicht unbedingt einfacher als direkt entwickeln
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ui, da hab ich mich vertan... dann ist die hälfte meiner LA-Übungsaufgaben schon so gut wie fertig...

Noch eine Frage:
Wenn man zwei Zeilen einer Matrix vertauscht, ändert sich das Vorzeichen der Determinante?

mfG 20
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wenn Du eine Zeile mit einem n-Fachen multiplizierst ändert sich die Determinante um n d.h

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist richtig:
seien x,y je spaltenvektoren

det(.....,x,....,y,.....)=-det(.......,y,.....,x,.......)
det(.....,x,....,y,.....)=+det(......,x,......,y+kx,.......)
det(.........,kx,.......)=k*det(.........,x,..........)

det(A^t)=det(A) (*)

det(.........,0,........)=0
det(......,x,.......,x,.....)=0

das sind die wichtigsten formeln, wenn man das ganze über dreiecksform lösen will
(*) besagt dabei, dass das ganze auch mit zeilen geht

mal als kleine übersicht, für deine LA--blätter, oli
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