Quadrate über paralellogramm

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Bienala Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrate über paralellogramm
Hallo zusammen

Sei ABCD ein Parallelogramm. Ueber jeder Seite werde ein Quadrat (nach aussen) konstruiert.
Dann bilden die vier Quadratmittelpunkte ein Quadrat. Wie beweist man dass dadurch ein Quadrat entsteht mit Hilfe der Kongruenzsätze,...ich verzweifel und bekomm es einfach nicht hin,...
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Nenne die Mittelpunkte der Quadrates (d. h. die Eckpunkte deines roten Quadrates) von der unteren Spitze aus und . Zeige dann, dass die Dreiecke , , und kongruent sind nach Kongruenzsatz SWS. Für die paarweise gegenüberliegenden Dreiecke lässt sich das ganz einfach zeigen, anschließend musst du das noch bei einem der benachbarten Dreieckspaare nachweisen. Das ist ein klitzekleines bisschen mehr mit Überlegung verbunden, aber nicht mit wirklich viel.

Ein Tipp noch: Die Basiswinkel im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck sind 45° groß.
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

Ja soweit hab ich es auch schon probiert aber ich weiß nicht wie ich beweise , dass die winkel gleich groß sind,...
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Mach es, wie bereits gesagt, paarweise.

Betrachte zunächst und . Die Winkel bei A und C setzen sich aus welchen kleineren Winkeln zusammen? (Denke zusätzlich zu meinem Tipp oben daram, dass im Parallelogramm gegenüberliegende Winkel gleich groß sind.)
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Winkel M1 A M4 und M3 C M2 Seiten sich ja aus drei Teilwinkeln zusammen,... alpha und gamma sind jeweils gleich groß,...aber dann fehlen ja noch die anderen winkel....
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich dir was gesagt über Winkel im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.
 
 
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

ganz blöde frage wahrscheinlich ,...abba wo hab ich gleichschenklig rechtwinklige dreiecke,....
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

okay hab jetzt nochmal ne zeichnung mit dein dreiecken von denen wir sprechen aber da is doch keines rechtwinklig oder
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast selber sehr schön jedes einzelne blaue Quadrat in vier gleichschenklig- rechtwinklige Dreiecke eingeteilt. :-)
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nee - die Zeichnung ist jetzt nicht so gut, bleib bei deiner ursprünglichen.

(Mein und dein Post oben haben sich überschnitten.)
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

aber die sind doch nicht rechtwinklig,... oder steh ich jetzt total auf dem schlauch ,.. ich glaub ich geh ins bett und schlaf drüber - mach schon seit 6 uhr mathe ,...trotzdem danke für die hilfe,...
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich auch sagen dass durch die diagonalen die 90 grad winkel in 45 grad winkel unterteilt werden?
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das kann man auch sagen.

(Gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke sind das, weil sich die Diagonalen im Quadrat a) gegenseitig halbieren und b) rechtwinklig schneiden.)

Schlafen ist eine gute Idee. Kannst dich ja morgen wieder melden.
Bienala Auf diesen Beitrag antworten »

okay ,damit kann ich nachweisen dass die gegenüberliegenden dreiecke kongruent sind abba nicht dass die nebeneinanderliegenden kongruent sind,....
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du vor allem erstmal nur nachgewiesen, dass die Dreiecke und kongruent sind. Oder bist du für und auch schon fertig? Falls ja, teile bitte deine Überlegungen dazu mit.

Um nachzuweisen, dass (beispielsweise) die Dreiecke und kongruent sind, musst du nachweisen, dass die Winkel bei A und B gleich groß sind. Drücke den einen durch den anderen aus und denke dabei daran, dass sich nebeneinanderliegende Winkel im Parallelogramm zu 180° ergänzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch einen Drehbeweis führen. Legen wir zunächst Vektoren fest:



Wenn wir einen Vektor um 90° im Uhrzeigersinn drehen, bezeichnen wir den gedrehten Vektor mit . Zweimaliges Drehen führt einen Vektor in seinen Gegenvektor über: . Ferner ist die Drehung linear, also mit den Vektoroperationen verträglich.

Nun rechnet man (Bezeichnungen siehe letztes Bild von Bienala)







Und das war zu zeigen.
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautete nun allerdings

Zitat:
Original von Bienala
(...) Wie beweist man dass dadurch ein Quadrat entsteht mit Hilfe der Kongruenzsätze, (...)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheWitch
Die Aufgabe lautete nun allerdings

Zitat:
Original von Bienala
(...) Wie beweist man dass dadurch ein Quadrat entsteht mit Hilfe der Kongruenzsätze, (...)


Selbstverständlich - ich habe nie etwas anderes behauptet! Es ist nur reizvoll, Aufgaben auf unterschiedlichen Wegen zu lösen. Insofern ist dieser Strang also noch nicht zu einem gültigen Abschluß gebracht. Betrachte meinen Beitrag einfach also "Nahezu-Off-Topic". Ich will dann auch nicht weiter stören ...

Eigentlich lehne ich Vektorbeweise im Bereich der Elementargeometrie ab. Ich habe also hier gewissermaßen gegen meine eigenen Grundsätze verstoßen. Auf der anderen Seite ist dieser Vektorbeweis nahe an einem elementaren Beweis. Um die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen, benötigt man nicht unbedingt die Kongruenzsätze. Auch wenn Dreiecke durch Kongruenzabbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen) auseinander hervorgehen, sind sie kongruent.
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