Stetigkeit <=> offene Mengen haben offene Mengen als Urbild

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18.01.2006, 18:49	To	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit <=> offene Mengen haben offene Mengen als Urbild Hallo, ich bin gerade mit scheitern beschäftigt...insbesondere an folgender Aufgabe: Seien X,Y metr. Räume, f: X -> Y a) Beweisen sie f ist stetig gdw das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (B) jeder offenen Menge B $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ Y eine offene Teilmenge von X ist. b) Zeigen sie: Im Falle Y:= R und für stetiges f: X-> R ist ker f := $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{0\} ) \end{eqnarray}$ = {x € X : f(x)=0} ein abgeschlossener Teil von X. c) Ersetzt man in a) "offen" durch jeweils "beschränkt" oder "folgenkompakt", so entstehen falsche Aussagen. Demonstrieren Sie dies an geeigneten stetigen Funktionen f. So nun ersmal meine Ansätze...wenn man das so nennen will... zu a) zunächstmal => also wir nehmen uns einen belibigen Punkt f(q) aus der Bildmenge (und aus B sollte er auch noch sein) und wissen wegen der Stetigkeit, dass für jede belibige Umgebung um diesen Punkt f(q) es eine Umgebung um den Punkt q gibt. Das heisst doch da f(q) ja ein beliebiger Punkt sein kann das es um einen beliebigen Punkt q auch eine Umgebung gibt. Wenn also B offen ist (B besteht aus inneren Punkten) so ist auch f-1(B) offen... naja das geht so wohl ziemlich sicher nicht.... <= würde ich das gleiche nur rückwärts schreiben...naja... zu b) keine Ahnung wie ich da ran gehen soll... zu c) "beschränkt" x € [-1, oo) f(x)=1/x -> f(x) € [-1, 0) ist das richtig? "folgenkompakt" in R gilt: folgenkompakt<=> abgeschlossen + beschränkt tja einfallen will mir da trotzdem keine stetige Funktion... Also ich wäre echt froh wenn mir jemand weiter helfen würde Grüsse To
18.01.2006, 20:18	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! zu a) Diese Richtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ist ja schon fast fertig. Zu zeigen ist ja, dass es für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} f^{-1}(B) \end{eqnarray}$ eine Umgebung gibt die ganz in $\begin{eqnarray} f^{-1}(B) \end{eqnarray}$ liegt. Für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dem Urbild von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gilt: Es gibt eine Umgebung $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ die ganz in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ liegt (Offenheit von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ). Aufgrund der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gibt es eine Umgebung $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , sodass ihr Bild in $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ liegt. Weißt du jetzt schon wo $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ liegt? lg thoroh
18.01.2006, 20:20	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
18.01.2006, 20:32	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
zu (a) <= Schau dir doch mal die "Delta-Epsilon-Definition" der Stetigkeit an und beachte $\begin{eqnarray} d(x,x_0) < \varepsilon \Leftrightarrow x \in B_{\varepsilon}(x_0) \end{eqnarray}$ d(x,y) Metrik zu (c) "beschränkt" Was ist den mit f(x) = 0 und was wurde in (b) gezeigt? "folgenkompakt" Ist {0} abgeschlossen? Ist {0} beschränkt?
18.01.2006, 20:41	To	Auf diesen Beitrag antworten »
zu thorohs Beitrag also dieses U1 müsste dann wohl innerhalb dem Urbild von B sein. Somit muss das Urbild von B auch eine offene Menge sein, da wir beliebige Punkte als Innere Ptke bestimmen können. richtig? Zur Rückrichtung: Wir finden zu jedem f(x1) aus der Bildmenge:=B eine Umgebung U1 und zu dem zugehörigen x1 aus dem Urbild:=D eine Umgebung U2 die vollends in B bzw D liegen. D.h. es existiert zu allen e>0 ein delta>0, dass dx (x,x1) < delta => dy (f(x),f(x1)), für alle x € X
18.01.2006, 20:47	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das müsste passen. lg thoroh
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18.01.2006, 20:54	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Kern f ist eine Teilmenge von X. Was gilt für alle Folgen in einer abgeschlossenen Teilmenge von X? Was kann man mit dem Limes machen, wenn f stetig ist?
18.01.2006, 21:05	To	Auf diesen Beitrag antworten »
zu MisterMagisters Beitrag: zu "beschränkt": also wähle ich mal lieber x € [1, oo) -> [1,0) mit f(x)= 1/x. jetzt müsste es aber hinkommen.... die Menge {0} ist in R abgeschlossen und beschränkt...oder überseh ich da was? Naja ich muss jetzt ja zusehen das ich {0} als Bild bekomme und das zugehörige Urbild möglichst unbeschränkt oder nicht abgeschlossen ist. Aber genau dafür will mir nix einfallen. Ich dachte schon einfach an eine Funktion mit mehreren Nullstellen aber wenn es nur einzelne Zahlen sind ist die Menge ja wieder beschränkt und abgeschlossen.... Stimmt all mein Gerede soweit? Folgen in abgeschlossenen Mengen ....konvertieren in dieser Menge glaub ich....ja sonst gäbe es ja einen Randpunkt der nicht zur Menge gehören würde.... Zu den Grenzwertenfällt mir nur ein das wenn f stetig auf a ist jede folge xn die gegen a konvertiert dann konvertiert f(xn) gegen f(a)... Aber wie kann ich jetzt den Schritt machen um zum Beweis für die abgeschlossenheit von ker f zu kommen?
18.01.2006, 21:21	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Die unbeschränkte Menge $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ wird unter $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ auf die beschränkte Menge $\begin{eqnarray} (0,1] \end{eqnarray}$ abgebildet. Genauso wird die unbeschränkte Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ unter der stetigen Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ auf die beschränkte Menge $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ abgebildet. Nun weiter mit (b). Das hast du auch richtig erkannt. A ist abgeschlossen, genau dann wenn der Grenzwert einer beliebigen Folge aus A wieder in A liegt. Das können wir benutzen. Aber ich hatte dich noch nach der Eigenschaft von stetigen Funktionen bzgl. Folgen und Grenzwerten gefragt. Diese Eigenschaft wird nämlich auch benötigt.
18.01.2006, 21:32	To	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry mein edit oben kam etwas später da hab ich was vonwegen Folgen und stetigen funktionen geschrieben Naja also es geht ja um die x die f auf Null abbildet also muss ich mir wohl vor allem die folgen f(xn) ansehen die nullfolgen sind. mit denen könnte man ja dann moment ker f muss abgeschlossen sein denn sonst existieren folgen die nicht in dieser menge konvertieren also kann f(xn) dann auch nicht gegen f(a) (für xn->a) konvertieren was im widerspruch zur stetigkeit stehen würde...oder? irgendwas stimmt noch nicht so ganz...
18.01.2006, 21:44	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst da keinen Widerspruch. Du wählst eine beliebige Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ in Kern f mit $\begin{eqnarray} lim ~ x_n = x \end{eqnarray}$ Wie du es oben schon richtig geschrieben hast gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = f(lim ~ x_n) = lim ~ f(x_n) \end{eqnarray}$ Ich betone nochmal: $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ liegt in Kern f für alle n Was ist also $\begin{eqnarray} f(x_n)? \end{eqnarray}$
18.01.2006, 21:54	To	Auf diesen Beitrag antworten »
f (xn) muss dann gleich 0 sein für alle n, aber gilt selbiges auch für den limes? Zumindest würde mir das weiterhelfen weil ich dann nämlich die abgeschlossenheit von ker f hätte...aber es gibt doch sicher auch folgen deren elemente komplett in ker f liegen die aber ausserhalb von ker f konvertieren (ja ich weiss eigentl. nicht weil ker f abgeschlossen ist aber das muss ich ja beweisen) für diese f(xn) wäre lim f(xn) ungleich 0 so könnte ker f noch offen sein....oder versteh ich das einfach nicht?
18.01.2006, 22:11	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja eben nicht. Ich muss dich wohl mit der Nase drauf stoßen. $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ist Folge in $\begin{eqnarray} Kern ~ f \end{eqnarray}$ , das heißt $\begin{eqnarray} x_n \in Kern ~ f \end{eqnarray}$ für alle n, das heißt $\begin{eqnarray} f(x_n) = 0 \end{eqnarray}$ für alle n Weil f stetig ist gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = f(lim ~ x_n) = lim ~ f(x_n) = lim ~ 0 = 0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} x \in Kern ~ f \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Das heißt der Grenzwert einer beliebigen Folge in Kern f liegt wieder in Kern f. Und jetzt zu (c) "folgenkompakt": $\begin{eqnarray} \{0\} \subset Y \end{eqnarray}$ ist eine folgenkompakte Teilmenge von Y da abgeschlossen und beschränkt. $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ ist eine stetige Funktion von X nach Y Wenn X unbeschränkt ist existiren Folgen in X, die keine konvergenten Teilfolgen haben. Also ist X nicht folgenkompakt. Aber X ist das Urblid der folgenkompakten Menge {0} unter $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Also gilt (a) nicht.
18.01.2006, 22:43	To	Auf diesen Beitrag antworten »
okay jetzt hab ich es auch endlich vielen dank für eure hilfe und sorry wenn ich etwas langsam war grüsse To

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