Beweis - Verstehensprobleme

17.05.2008, 23:25	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis - Verstehensprobleme Hallo, es geht um folgenden Satz und den zugehörigen Beweis: Satz: Sei $\begin{eqnarray} A=(\alpha_{ij})\in M_n(K) \end{eqnarray}$ , und sei $\begin{eqnarray} \chi_A(t)=t^n+\beta_{n-1}t^{n-1}+...+\beta_1t+\beta_0 \end{eqnarray}$ das characketeristische Polynom von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} -\beta_{n-1}=\sum_{i=1}^n \alpha_{ii} \end{eqnarray}$ , die Summe der Diagonalelemente von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Beweis im Script: Involviert einer der Summanden $\begin{eqnarray} T_{\pi} \end{eqnarray}$ in der Definition der Determinante $\begin{eqnarray} t^{n-1} \end{eqnarray}$ , bedeutet das, dass $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Diagonalelemente der Matrix $\begin{eqnarray} tE_n-A \end{eqnarray}$ in diesem Summanden involviert sind, das zugehörige $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ lässt $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Zahlen fest, und damit auch die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te, also $\begin{eqnarray} \pi=id \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n (t-\alpha_{ii})=t^n-\sum_{i=1}^n \alpha_{ii}t^{n-1}+\quad ... \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} -\sum_{i=1}^n \alpha_{ii} \end{eqnarray}$ der Koeffizient von $\begin{eqnarray} t^n \end{eqnarray}$ . Ich kann dem Beweis nicht ganz folgen und würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen würde, ihn zu verstehen. Alternative Beweismethoden sind auch erwünscht. Gruß
17.05.2008, 23:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist wohl, was genau du am Beweis nicht verstehst?! Wenn du die Determinante der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t-\alpha_{11} & -\alpha_{12} & \ldots & -\alpha_{1n} \\ -\alpha_{21} & t-\alpha_{12} & \ldots & -\alpha_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\alpha_{n1} & -\alpha_{n2} & \ldots & t-\alpha_{1n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Leibniz-Formel ausrechnet, bekommt man Summanden aus jeweils $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Faktoren (und einem entsprechenden Vorzeichen). Dabei muss man für einen Summanden aus jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Element auswählen. Würdest du z.B. aus der ersten Zeile nicht das erste, also nicht das Diagonalelement auswählen, so müsstest du aus einer anderen Zeile ein Element in der ersten Spalte auswählen. Du hättest also in zwei Zeilen Elemente ausgewählt, die kein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ enthalten. Da du in den anderen Zeilen höchstens die Potenz $\begin{eqnarray} n-2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bekommst, kämest du nie auf die Potenz $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Da das Argument genausogut für alle anderen Zeilen (nicht nur für die erste) funktioniert, musst du, um auf $\begin{eqnarray} t^{n-1} \end{eqnarray}$ zu kommen, in allen Zeilen/Spalten das Diagonalelement auswählen. Das läuft auf die identische Permutation hinaus. Und da hast du eben dann gerade das Produkt $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n~(t-\alpha_{ii}) \end{eqnarray}$ . Wenn man das ausmultipliziert, dann kommt man auf das angegebene. Für $\begin{eqnarray} t^{n-1} \end{eqnarray}$ muss man aus den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Klammern nämlich genau $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ -mal $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und in einer Klammer was anderes auswählen.
18.05.2008, 00:06	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke. Das hat mir schon sehr geholfen. Manchmal sind ein oder zwei anschauliche Erklärungen einfach besser um es beim ersten Mal zu verstehen. Der Beweis in meinem Script war mir wahrscheinlich noch zu technisch und weniger anschaulich wie deine Erklärung. Gruß

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